Trigonometrische Funktionen
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4 Trigonometrische Funktionen ============================= 4.1 Bogenmass und Definition ---------------------------- Das Bogenmass eines Winkels alpha ist definiert durch alpha / 180Grad * pi. Das Bogenmass entspricht der Laenge eines Bogens (zum entsprechenden Winkel) des Einheitskreises. Die y- und x-Koordinaten eines Einheitsvektors mit Winkel alpha (im Bogenmass von der x-Achse aus im Gegenuhrzeigersinn gemessen) heissen sin(alpha) und cos(alpha). Die Sinus- und Cosinusfunktionen sind stetig und auf ganz RR definiert. 4.2 Rechenregeln und spezielle Werte ------------------------------------ Es gelten die folgenden Gesetze sin(alpha+2pi) = sin(alpha) cos(alpha+2pi) = cos(alpha) /* sin und cos sind periodische Funktionen mit Periode 2pi */ sin(0)=0, cos(0)=1 sin(pi)=0, cos(pi)=-1 sin(pi/2)=1, cos(pi/2)=0 sin(pi/3 /*60 Grad*/)= 1/2 sqrt(3) cos(pi/3 /*60 Grad*/)= 1/2 sin(alpha)=cos(alpha-pi/2) sin(alpha)^2 + cos(alpha)^2 = 1 sin(alpha+beta) = sin(alpha)cos(beta)+cos(alpha)sin(beta) cos(alpha+beta) = cos(alpha)cos(beta)-sin(alpha)sin(beta) etc 4.3 Trigonometrie ----------------- Im rechtwinkligen Dreieck sei alpha einer der Winkel < pi/2. Die laengste Seite heisst Hypotenuse. Die kurze Seite, die an alpha anliegt, heisst Ankathete (von alpha); die alpha gegenueberliegende Seite heisst Gegenkathete. Es gilt: Ankathete/Hypotenuse = cos(alpha) Gegenkathete/Hypotenuse = sin(alpha) Man definiert auch noch tan(alpha) = sin(alpha)/cos(alpha). Es gilt dann Gegenkathete/Ankathete = tan(alpha) Satz: Fuer x->0 gilt lim sin(x)/x = 1. Anschaulicher Beweis: Fuer 0<=x<pi/2 gilt: sin(x) <= x <= tan(x) (Veranschaulichung am Einheitskreis) Also sin(x)/tan(x) <= sin(x)/x <= sin(x)/sin(x) Also cos(x) <= sin(x)/x <= 1 Also lim sin(x)/x = 1 fuer x->0+. Fuer x->0- ebenso, da sin(-x)/-x = sin(x)/x. 4.4 Umkehrfunktionen -------------------- Der Sinus ist im Intervall [-pi/2,pi/2] streng monoton steigend mit Wertemenge [-1,1]. Die entsprechende Umkehrfunktion heisst Arcus-Sinus (arcsin, oder sin^-1) und ist auf [-1,1] mit Wertemenge [-pi/2,pi/2] definiert. Ebenso gibt es die Arcus-Cosinus Funktion arccos:[-1,1]->[0,pi] und die Arcus-Tangensfunktion arctan:RR->[-pi/2,pi/2]
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