3. Exponentialfunktion und Logarithmus
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Die Exponentialfunktion exp(x)=e^x ist streng monoton steigend und ueberall >0.
Die Logarithmusfunktion ln(x) ist ihre Umkehrfunktion und ebenfalls
streng monoton steigend, aber nur fuer positive Zahlen definiert.

NB: Wir setzen hier voraus, dass die e-Funktion exp(x)=e^x aus der
Schule bekannt ist. Moechte man sie rigoros definieren, so bietet sich
die bereits erwaehnte Exponentialreihe an:
exp(x):=sum(x^n/n!,n=0..oo).

Wir zeigen hier exemplarisch, dass die Exponentialreihe die
"Funktionalgleichung" der Exponentialfunktion erfuellt:

Satz:
Sei f(x) = sum(x^n/n!,n=0..oo). Es gilt fuer alle x,y:RR, dass f(x+y)=f(x)f(y).

Beweis: Es ist
f(x)f(y) = (sum(x^k/k!,k=0..oo))(sum(y^n/n!,n=0..oo) =
(1+x+x^2/2+x^3/6+...+x^k/k!+... )(1+y+y^2/2+y^3/6+...+y^n/n!+...) =
(1 + x+y + x^2/2+xy+y^2/2 + x^3/6+x^2y/2+xy^2+xy^2/2+y^3/6+...+x^ky^n/(k!n!)+..)=   /*1*/
sum(sum(x^k y^(m-k) / k!(m-k)!,k=0..m),m=0..oo) =     /*2*/
sum((x+y)^m/m!,m=0..oo) = f(x+y)

Die Gleichung /*1*/ (und die davor) sortieren die Produkte nach dem
Ausmultiplizieren nach ihrem Grad (Summe der x- und
y-Potenzen). Solches Umsortieren ist bei absoluter Konvergenz
zulaessig (die hier ja vorliegt).

Die Gleichung /*2*/ beruht auf dem binomischen Lehrsatz

(x+y)^m = sum(x^k y^(m-k) m!/(k! (m-k)!), k=0..m)

Diese Methode kann man auf beliebige absolut konvergente
Reihen verallgemeinern ("Cauchy Produkt").

Satz: Konvergieren a = sum(a_k,k=0..oo) und b = sum(b_n,n=0..oo)
absolut, so gilt: 

a b = sum(a_k,k=0..oo) sum(b_n,n=0..oo) =
 sum(sum(a_k b_(m-k),k=0..m),m=0..oo)

Fehlt die absoluter Konvergenz, so gilt diese Formel im allgemeinen nicht. 


3.1 Potenz- und Logarithmusgesetze
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Es gelten die folgenden Potenzgesetze

a^(u+v) = a^u*a^v
a^(u-v) = a^u/a^v
a^(uv)  = (a^u)^v
a^(u/v) = a^u^{1/v}
a^0 = 1

Zur Erinnerung:

a^n = a*...*a (n Faktoren), wenn n:NN
a^(-n) = 1 / a^n
a^{p/q} = q-te Wurzel aus a^p 

Aus den Potenzgesetzen ergeben sich die Rechenregeln fuer Logarithmen:

ln(xy) = ln(x)+ln(y)
ln(x/y) = ln(x)-ln(y)
ln(x^y) = y*ln(x)
ln(1) = 0

Ausserdem gilt:
a^u = exp(ln(a^u)) = exp(u*ln(a)).
Formal nimmt man dies als *Definition* der allgemeinen Potenz. 

Es gibt auch Logarithmen zu anderen Basen als e:

log_a ist die Umkehrfunktion zu a^x und es gilt: log_a(x) = ln(x) / ln(a). 



3.2 Grenzwerte mit exp und ln
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lim  exp(x)/x^n = oo 
x->oo

Die Exponentialfunktion waechst mit x->oo staerker als jede Potenz.

Anschaulicher Beweis:

exp(x) = sum(1/k!*x^k,k=0..oo) >= 1/(n+1)! x^(n+1), aber

lim 1/(n+1)!*x^(n+1)/x^n = oo
x->oo


lim  ln(x)/x^n = 0
x->oo

Der Logarithmus waechst langsamer als jede Potenz.

Anschaulicher Beweis:

lim  ln(x)/x^n = lim ln(exp(y))/exp(y)^n = lim y/exp(ny) = 0
x->oo            y->oo                     y->oo


Bemerkung: das gilt auch fuer n ersetzt durch irgendein alpha>0,
z.B. alpha=1/2.

Ebenso: lim x^alpha * ln(x) = 0 
        x->0+

fuer alpha>0, denn lim x^alpha * ln(x) = lim ln(1/x)/x^alpha = 0
                   x->0+                 x->oo
lim  (exp(x)-1) / x = 1
x->0

Anschaulicher Beweis: Fuer x->0 ist 1+x+x^2/2 <= exp(x) <= 1+x+x^2
(Exponentialreihe). Zieht man auf beiden Seiten 1 ab, teilt durch x
und nimmt den Grenzwert x->0, so erhaelt man das Ergebnis.



lim   x*ln(x) = lim exp(-y)*ln(exp(-y)) = - lim y/exp(y) = 0
x->0+           y->oo                       y->oo


3.3  Die Landau-Symbole
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Man schreibt auch exp(x) = 1+x+O(x^2) fuer x->0 wobei O(x^2) eine
Funktion bezeichnet, die höchstens so stark waechst (hier fuer x->0)
wie ein festes Vielfaches von x^2. Das *Landau-Symbol* O(f(x))
bezeichnet, bzgl eines bestimmten Grenzuebergangs x->a, eine beliebige
Funktion g mit |g(x)| <=c*|f(x)| fuer ein festes c>0 und x->a.
Meist ist der zugrundeliegende Grenzuebergang x->0 oder x->oo. 

Falls lim  |g(x)|/|f(x)| existiert (also insbes nicht oo ist), 
      x->a
      
so folgt g(x)=O(f(x)). In manchen Faellen gilt aber die O-Beziehung,
ohne dass der Grenzwert existiert. Beispiel: sin(x) = O(1) fuer x->oo,
denn |sin(x)|<=1, aber lim sin(x) existiert nicht fuer x->oo.


Man schreibt auch ln(x) = o(x^n) fuer x->oo zum Zeichen, dass ln(x)
schwaecher waechst als jede Potenz von x. Allgemein bezeichnet das
*Landau-Symbol* o(f(x)) bezeichnet, bzgl eines bestimmten
Grenzuebergangs x->a, eine beliebige Funktion g mit |g(x)| <=c*|f(x)|
fuer alle c>0 und x->a.  Es gilt g(x)=o(f(x)) genau dann, wenn lim
|g(x)|/|f(x)| = 0.

Mit den Landau-Symbolen lassen sich Rechnungen mit Grenzwerten
bisweilen vereinfachen.


Z.B. lim (exp(x)-1)/x = lim (x+O(x^2))/x = 1
    x->0


lim    x*ln(x)/x =  x*o(x) = 0
x->oo

Die Landau Symbole verstehen sich immer bezueglich eines bestimmten
Grenzuebergangs.

So ist ln(x) = O(x-1) fuer x->1 aber nicht fuer x->0, denn lim ln(x)=-oo
                                                                x->0

Ebenso ist ln(x)=o(1/x^alpha) fuer x->0+, aber natuerlich nicht fuer x->oo. 

Das Gleichheitszeichen bei der O-Notation ist auch eher eine
Elementbeziehung, als eine echte Gleichheit, insbesondere nicht
transitiv: x+1=O(x), x=O(x), aber natuerlich nicht x+10x.