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Analysis-WS16-10

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7.5 Partielle Integration
-------------------------

Aus der Produktregel des Differenzierens erhaelt man folgende
Rechenregel fuer die Integration, die sog. *partielle Integration*:

u(x)*v(x) = int(u'(x)*v(x) dx) + int(u(x)*v'(x) dx)

oder in nuetzlicherer Form:

int(u'(x)*v(x) dx) = u(x)*v(x) - int(u(x)*v'(x) dx)

Man kann diese Regel verwenden, wenn der Integrand ein Produkt ist,
sodass fuer einen der Faktoren eine Stammfunktion bekannt ist. Leider
wird durch die partielle Integration das Integral nicht komplett
geloest, sondern nur auf ein anderes zurueckgefuehrt, welches
leichter, aber auch schwieriger sein kann.

Beispiele:

*) int(cos(x)*x dx)  /* u' = cos(x), u = sin(x), v=x, v'=1 */
= sin(x)*x - int(sin(x)*1 dx)
= sin(x)*x + cos(x)

*) int(ln(x) dx)
= int(1*ln(x) dx) /* u' = 1, u = x, v=ln(x), v'=1/x */
= x*ln(x) - int(x/x dx)
= x*ln(x) - x

*) int(arctan(x) dx)
= x*arctan(x) - int(x/(1+x^2) dx)
= x*arctan(x) - 1/2 ln|1+x^2|

*) int(cos(y)^2 dy) = 
= sin(y)*cos(y) + int sin(y)^2 dy

jetzt nicht nochmal so weitermachen, sonst dreht man sich im Kreis.
Stattdessen:

 int(cos(y)^2 dy) = sin(y)cos(y)+int 1-cos(y)^2 dy =
sin(y)cos(y)+x-int cos(y)^2 dy 

Also int(cos(y)^2 dy) = 1/2(x+sin(y)cos(y))

*) Man bestimme I_m(x) = int 1/(1+x^2)^m dx.

I_m(x) = int 1/(x^2+1)^m dx =
   x/(x^2+1)^m + 2m * int x^2/(1+x^2)^(m+1) dx =
   x/(x^2+1)^m + 2m * int 1/(1+x^2)^(m+1) - 1/(1+x^2)^m dx =
   x/(x^2+1)^m + 2m * (I_(m+1)(x) - I_m(x))

Also:

I_(m+1)(x) = 1/(2m) * ((2m-1)I_m(x) + x/(1+x^2)^m)

Mit I_1(x)=arctan(x) kann man so die I_m sukzessive berechnen.

*) Man bestimme J_m(x) = int sin(x)^m dx

J_0(x) = x
J_1(x) = -cos(x)
J_m(x) = -sin(x)^(m-1)*cos(x) + (m-1)*int sin(x)^(m-2)*cos(x)^2 dx =
 = -sin(x)^(m-1)*cos(x) + (m-1)*int sin(x)^(m-2)*(1-sin(x)^2)dx =
 = -sin(x)^(m-1)*cos(x) + (m-1) * (J_(m-2)(x) - J_m(x))

Also J_m(x) = -1/m cos(x)sin^(m-1)(x) + (m-1)/m J_(m-2)(x)


7.6 Uneigentliche Integrale
---------------------------

Der Ausdruck int(f(x) dx,x=a..b) ist bekanntlich nur definiert, wenn f
auf [a,b] definiert ist (und dort stueckweise stetig ist). Ist also a
oder b = +-oo oder ist f an a oder b nicht definiert, so existiert das
Integral "im eigentlichen Sinne" nicht. Man kann dem Ausdruck aber
durch Limesbildung in manchen Faellen doch einen sinnvollen Wert
zuweisen, der dann als "uneigentliches Integral" bezeichnet wird.

Beispiel:

int(1/x^2 dx, x=1..oo) =
lim int(1/x^2, x=1..z) = 
z->oo
lim [-1/x]_1^z = 1-1/z = 1
z->oo


int(1/sqrt(x) dx, x=0..1) =
lim int(1/sqrt(x), x=z..1) = 
z->0
lim [2*sqrt(x)]_z^1 = 2-2*sqrt(z) = 2
z->0

int(1/sqrt(1-x^2) dx,x=-1..1) =
lim arcsin(1-eps) - arcsin(-1+eps) =  
eps->0
- (- pi/2) + pi/2 = pi

Aehnlich:
int(1/(1+x^2) dx,x=-oo..oo) = pi


Nicht immer koennen bestimmte (insbesondere uneigentliche) Integrale
ueber Stammfunktionen ausgewertet werden.

Beispiel:

Man bestimme int(sin(x)/x dx, x=0..oo)

NB sin(x)/x kann fuer x=0 stetig fortgesetzt werden.

Die Stammfunktion F(x) zu f(x) = sin(x)/x mit F(0)=0 heisst "Sinus
integralis" und wird mit Si(x) bezeichnet. Es gibt keine einfache
Formel fuer Si(x).

Man interessiert sich hier also fuer lim Si(x)
                                     x->oo

Wir beweisen nur, dass der Grenzwert existiert.

fuer x=n*pi ... (n+1)*pi, n gerade, ist sin(x)/x positiv
fuer x=n*pi ... (n+1)*pi, n ungerade, ist sin(x)/x negativ

Also ist lim Si(x) =  sum (-1)^n*int(|sin(x)/x| dx,x=n*pi..(n+1)*pi,n=0..oo)
        x->oo

und die Reihe konvergiert nach dem Leibniz Kriterium fuer
alternierende Reihen.  Man kann zeigen (s. Forster), dass der
Grenzwert gerade pi/2 ist.


Eine interessante Anwendung von uneigentlichen Integralen ist das
folgende Konvergenzkriterium fuer Reihen (Integralkriterium).

Satz: Ist f:[1,oo]->RR^+ eine Funktion, sodass die Folge (a_n)_n mit
a_n=f(n) monoton faellt, so konvergiert sum(a_n, n=1..oo) genau dann,
wenn das uneigentliche Integral int(f(x) dx, x=1..oo) existiert.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus der Abschaetzung
 int(f(x),x=n..n+1)>=a_(n+1).

Beispiel: Die Reihe sum(1/n^s,n=1..oo) konvergiert fuer s>1, denn
int(1/x^s,x=1..oo)=[x^(1-s)/(1-s)]_1^oo = 1/(s-1).



Man kann die im Beweis verwendete Abschaetzung bisweilen auch direkt
einsetzen: aus int(1/x dx)=ln(x) ergibt sich durch
Integralabschaetzung

sum(1/n,n=2..N) <= ln(N) <= sum(1/n,n=1..N-1)

Also 0 <= sum(1/n,n=1..N)-ln(N) <= sum(1/n,n=1..N)-sum(1/n,n=2..N) = 1.

Setzt man gamma_N := sum(1/n,n=1..N)-ln(N), so ist

gamma_{N-1}-gamma_N = [ln(x)]_(x=N-1)^N - 1/N = int(1/x-1/N dx,x=N-1..N) > 0

d.h. die Folge (gamma_N)_N ist beschraenkt und monoton fallend, muss
daher gegen eine Zahl konvergieren. Diese heisst
Euler-Mascheroni-Konstante und wird mit gamma bezeichnet. Es ist gamma
= 0,57721... Man weiss nicht, ob gamma rational, irrational, oder
transzendent ist und ob es sich durch die "anderen Zahlen" wie pi, e,
etc irgendwie ausdruecken laesst.

Anwendung: Sei
S_N = sum(1/n, n=1..N) 
A_N = sum((-1)^n*1/n, n=1..N) (alternierende harmonische Reihe.)

Es ist S_N = ln(N)-gamma +o(1)
A_(2N) = S_(2N) - S_N = ln(2)+ln(N)-ln(N)+gamma-gamma+o(1)=ln(2)+o(1)

Also lim A_N = ln(2)

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