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Analysis-WS16-08

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7. Integralrechnung
===================

7.1 Definition und Beispiele
----------------------------

Definition: Eine Funktion f:[a,b]->CC heisst stueckweise stetig, wenn
es endlich viele Ausnahmepunkte a1...an in [a,b] gibt, sodass f auf
allen Punkten in [a,b] mit Ausnahme von a1..an stetig ist und an den
Ausnahmepunkten jeweils der rechts- und linksseitige Grenzwert
existiert, also lim(f(x), x->ai+) und lim(f(x),x->ai-) existieren fuer
i=1..n, muessen aber nicht gleich f(ai) sein.

Insbesondere ist eine stueckweise stetige Funktion immer beschraenkt.

Beispiele: Wenn f ueberhaupt stetig ist, dann ist f natuerlich auch
stueckweise stetig, also z.B. f(x)=x^2*sin(x) auf [-3,7]. Die Funktion
darf aber wie gesagt endlich viele Sprungstellen haben, also zum
Beispiel f(x)=floor(x) auf [-10,10] mit 20 Sprungstellen.

Die Funktion f(x) = 1/x^2 auf [-1,1] hat zwar nur eine
Unstetigkeitsstelle bei x=0, gilt aber wegen dem oben Ausgefuehrten
nicht als stueckweise stetig.

Definition: Sei f:D->W <= CC eine Funktion, sodass f eingeschraenkt
auf das Intervall [a,b] stueckweise stetig ist. Das Riemann-Integral
ist dann als folgender Grenzwert definiert:

                        N-1
   b                    ___
   /                    \
   | f(x) dx  := lim     >   f(a+k(b-a)/N)*(b-a)/N
   /             N->oo  /
   a                    ---
                        k=0

Man kann zeigen, dass dieser Grenzwert immer existiert.

Wir schreiben auch int(f(x) dx, a..b)

Beispiele:

int(x dx, 0..b) = lim sum(k*b/N * b/N,k=0..N-1) = lim b^2/N^2*sum(k,k=0..N-1) = 
                  N->oo

= lim b^2/N^2*N*(N-1)/2 = b^2/2. 


int(x^2 dx, 0..b) = lim sum((k*b/N)^2 * b/N,k=0..N-1) =
= lim b^3/N^3*sum(k^2,k=0..N-1) = 1/3 b^3.

Man deutet das Integral geometrisch als die Flaeche unter dem Graphen
von f im Intervall a..b.



 ^
 |
 1            |        Die Flaeche des krummlinigen Dreiecks, also unterhalb
 |           ||        der Normalparabel ist also int(x^2 dx,x=0..1) = 1/3. 
 |           /|
 .5         / |
 |         -  |
 | _   - °    |
-|-----.5-----1----------->


Die krummlinige Flaeche wird durch Flaechen von immer schmaler
werdenden Rechtecken (der Hoehe f(a + k*(b-a)/N) und Breite (b-a)/N)
angenaehert.


Bemerkung: Normalerweise definiert man das Riemann-Integral zunaechst
fuer beliebige Funktionen als Grenzwert von Summen wie oben, wobei
allerdings die Wahl der Stuetzstellen nicht unbedingt aequidistant zu
erfolgen hat. Existiert der Grenzwert unabhaengig von der Wahl der
Stuetzstellen, sofern nur deren Abstand (Maschenweite) gegen Null
geht, so bezeichnet man die Funktion als "Riemann integrierbar".  In
diesem Falle stimmt der Grenzwert natuerlich mit dem obigen fuer
aequidistante Unterteilungen ueberein, denn die sind ja ein
Spezialfall.

Man kann dann zeigen, dass eine Funktion genau dann Riemann
integrierbar ist, wenn sie hoechstens abzaehlbar viele
Unstetigkeitsstellen hat und ausserdem auf dem Intervall [a,b]
beschraenkt ist (Lebesgue-Kriterium). Insbesondere sind also die
stueckweise stetigen Funktionen Riemann-integrierbar.

Es gibt auch noch allgemeinere Integralbegriffe (heutiger Standard ist
das Lebesgue-Integral), mit denen auch noch anderen Funktionen ein
Integral zugewiesen werden kann, insbesondere solchen, die auf einem
offenen Intervall, wie [0,oo[ definiert sind, oder solchen, die
nirgendwo stetig sind, wie etwa die Dirichlet Funktion

d(x) = if x rational then 1 else 0

Fuer unsere Zwecke (und die allermeisten in der Praxis vorkommenden Faelle)
genuegt die Definition des Integrals fuer stueckweise stetige Funktionen. 

Weiteres Beispiel:

int(exp(x) dx, x=0..b).

Zunaechst stellen wir fest

sum(exp(k*b/N),k=0..N-1) = sum(exp(b/N)^k,k=0..N-1) =
(exp(N*b/N)-1) / (exp(b/N)-1)  /* geometrische Reihe */
= (exp(b)-1)/(exp(b/N)-1)

Also sum(exp(k*b/N)*b/N,k=0..N-1) =
b/N * (exp(b)-1)/(exp(b/N)-1).

Der Grenzwert hiervon fuer N->oo ergibt sich zu exp(b)-1, also ist 

int(exp(x) dx, x=0..b) = exp(b)-1. 

Satz: Fuer a<=b<=c gilt (sofern die vorkommenden Ausdruecke ueberhaupt
definiert sind)

int(f(x)dx,x=a..b) + int(f(x)dx,x=b..c) = int(f(x)dx,x=a..c)

Begruendung: Intuitiv ist das klar, fuer einen rigorosen Beweis muss
man etwas vorsichtig sein, weil die Zusammensetzung von zwei
aequidistanten Einteilungen im allgemeinen nicht wieder eine
aequidistante Einteilung liefert.

Unmittelbar aus der Definition folgen hingegen die Linearitaet und die Monotonie der Integration: 

Satz: Wenn immer die vorkommenden Ausdruecke definiert sind, so gilt: 
int(f(x)+f(x)dx,x=a..b) = int(f(x)dx,x=a..b)+int(g(x)dx,x=a..b)
int(lambda*f(x)dx,x=a..b) = lambda*int(f(x)dx,x=a..b).

Ausserdem folgt aus f(x)<=g(x) fuer x:[a,b], dass int(f(x)dx,x=a..b)<=int(g(x)dx,x=a..b)

Falls b<=a, so definiert man

       int(f(x)dx, x=a..b) := -int(f(x)dx, x=b..a)

Die bisherigen Saetze gelten fort, insbesondere gilt fuer alle a,b,c:

int(f(x)dx,x=a..b)+int(f(x)dx,x=b..c) = int(f(x)dx,x=a..c)


Satz (Mittelwertsatz der Integralrechnung):
Ist f:[a,b]->RR stetig (nicht nur stueckweise!),
so existiert x0:[a,b] derart dass

int(f(x) dx,x=a..b) = f(x0)*(b-a)

Veranschaulichung: f(x0)*(b-a) ist ein Rechteck der Breite b-a und
Hoehe f(x0). Man waehlt zunaechst die Hoehe so, dass diese Flaeche
gerade dem Integral entspricht. Dann erhaelt man mit dem
Zwischenwertsatz einen passenden x-Wert.

Es gilt auch noch folgende allgemeinere Version des Mittelwertsatzes:

Satz: Sei f auf [a,b] stetig und g stueckweise stetig, so existiert
x0:[a,b] mit int(f(x)*g(x) dx,x=a..b) = f(x0)*int(g(x) dx,x=a..b)

Beweis: Sei m das absolute Minimum von f auf [a,b] und M das Maximum.

Setze mu := int(f(x)*g(x))/int(g(x) dx, x=a..b). Wegen m*int(g(x) dx,
x=a..b) <= int(f(x)*g(x) dx,x=a..b) <= M*int(g(x) dx, x=a..b) liegt mu
zwischen m und M und wird nach dem Zwischenwertsatz von f
angenommen. Das liefert das gewuenschte x0.

 

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