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Analysis-WS16-04

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4 Trigonometrische Funktionen
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4.1 Bogenmass und Definition
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Das Bogenmass eines Winkels alpha ist definiert durch alpha / 180Grad * pi.
Das Bogenmass entspricht der Laenge eines Bogens (zum entsprechenden Winkel)
des Einheitskreises.

Die y- und x-Koordinaten eines Einheitsvektors mit Winkel alpha (im Bogenmass von der x-Achse aus im Gegenuhrzeigersinn gemessen) heissen sin(alpha) und cos(alpha).

Die Sinus- und Cosinusfunktionen sind stetig und auf ganz RR definiert.


4.2 Rechenregeln und spezielle Werte
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Es gelten die folgenden Gesetze

sin(alpha+2pi) = sin(alpha)
cos(alpha+2pi) = cos(alpha)   /* sin und cos sind periodische Funktionen mit Periode 2pi */

sin(0)=0, cos(0)=1
sin(pi)=0, cos(pi)=-1
sin(pi/2)=1, cos(pi/2)=0
sin(pi/3 /*60 Grad*/)= 1/2sqrt(3)
cos(pi/3 /*60 Grad*/)= 1/2

sin(alpha)=cos(alpha-pi/2)

sin(alpha)^2 + cos(alpha)^2 = 1

sin(alpha+beta) = sin(alpha)cos(beta)+cos(alpha)sin(beta)
cos(alpha+beta) = cos(alpha)cos(beta)-sin(alpha)sin(beta)

etc

4.3 Trigonometrie
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Im rechtwinkligen Dreieck sei alpha einer der Winkel <pi/2. Die laengste Seite heisst Hypotenuse. Die kurze Seite, die an alpha anliegt heisst Ankathete, die alpha gegenueberliegende Seite heisst Gegenkathete.

Es gilt:
Ankathete/Hypotenuse = cos(alpha)
Gegenkathete/Hypotenuse = sin(alpha)

Man definiert auch noch tan(alpha) = sin(alpha)/cos(alpha). Es gilt dann

Gegenkathete/Ankathete = tan(alpha)

Satz:
Fuer x->0 gilt lim sin(x)/x = 1.

Anschaulicher Beweis: Fuer 0<=x<pi/2 gilt:

sin(x) <= x <= tan(x) (Veranschaulichung am Einheitskreis)

Also sin(x)/tan(x) <= sin(x)/x <= sin(x)/sin(x)
Also cos(x) <= sin(x)/x <= 1
Also lim sin(x)/x = 1 fuer x->0+.
Fuer x->0- ebenso, da sin(-x)/-x = sin(x)/x.


4.4 Umkehrfunktionen
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Der Sinus ist im Intervall [-pi/2,pi/2] streng monoton steigend mit
Wertemenge [-1,1]. Die entsprechende Umkehrfunktion heisst Arcus-Sinus
(arcsin, oder sin^-1) und ist auf [-1,1] mit Wertemenge [-pi/2,pi/2]
definiert.

Ebenso gibt es die Arcus-Cosinus Funktion arccos:[-1,1]->[0,pi]

und die Arcus-Tangensfunktion arctan:RR->[-pi/2,pi/2]

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