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Analysis-WS16-02

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2. Stetige Funktionen
=====================


2.1 Funktionsbegriff:
---------------------

Eine Funktion f:RR->RR ordnet jeder Zahl x:RR eine Zahl f(x):RR
zu. Der Graph der Funktion ist die Menge der Paare {(x,f(x)) |
x:RR}. Zeichnet man den Graphen in ein Koordinatensystem, so befindet
sich ueber jedem x-Wert genau ein y-Wert (y=f(x)).

Beispiele:

* Identische Funktion id(x)=x. Graph: um 45-Grad geneigte Ursprungsgerade. 
* Betragsfunktion abs(x)=|x|. Graph: Zwei symmetrische Halbgeraden, die sich im Ursprung beruehren.
* Quadratfunktion sq(x)=x^2. Graph: Normalparabel.
* Sinusfunktion, Exponentialfunktion,
* Stueckweise definierte Funktionen:

            / x^2, falls x>10
           |
   f(x) = <   2, falls x=10
           |
	    \ -x^2, sonst
	    

* Die floor-Funktion: floor(x) = groesste ganze Zahl <=x. 

Es gibt auch Funktionen, die nicht an allen Argumenten x:RR definiert
sind. Sind D,W Teilmengen von RR so schreibt man f:D->W, wenn f jedem
x:D einen Wert y=f(x) in W zuordnet. D heisst Definitionsmenge /
-bereich von f und W Wertemenge / -bereich. NB: Nicht jedes Element
von W muss tatsaechlich als Funktionswert in Erscheinung treten.

Beispiele:

* f(x) = 1/x. Hier z.B. D = RR \ {0}, W = RR \ {0} oder auch W = RR. Graph: Hyperbel.
* f(x) = sqrt(x) (Wurzel). Hier z.B. D = RR^+_0.
* f(x) = ln(x) (Logarithmus). Hier z.B. D  = RR^+
* Jede Folge ist eine Funktion mit Definitionsbereich NN

In der Regel ruehrt D =/= RR daher, dass der Funktionsterm nicht
sinnvoll ausserhalb von D definiert werden kann, aber man kann den
Definitionsbereich auch willkuerlich einschraenken.

* D = RR^+_0 \ {47} und f:D -> RR und f(x) = x, fuer x:D.


Funktionen gibt es auch mit Definitions- und Wertebereichen, die nicht
Teilmengen von RR sind, so gibt es zweistellige Funktionen mit
Definitionsbereich RR x RR oder einer Teilmenge davon, oder auf
Modulo-Zahlen definierte Funktionen. Definitions- und Wertebereich
koennen auch ganz andere Mengen sein, wie die aller Teilmengen von NN,
aller Listen von natuerlichen Zahlen, aller Folgen, aller
TeilnehmerInnen dieser Veranstaltung... Im folgenden sind aber, wenn
nichts anderes gesagt ist, Funktionen immer auf einer Teilmenge der
reellen Zahlen definiert und liefern reelle Zahlen zurueck.


2.2 Monotonie und Umkehrfunktion
--------------------------------

Eine Funktion f ist monoton steigend, wenn aus x<y folgt f(x)<=f(y).
Sie ist monoton fallend, wenn aus x<y folgt f(x)>=f(y).
Sie ist streng monoton steigend, wenn aus x<y folgt f(x)<f(x),
analog definiert man streng monoton fallend.

Die Funktionen x^2 , sqrt(x), ln(x), floor(x) sind monoton steigend, die ersten drei sogar streng.

NB: Strenggenommen muesste man schreiben, die Funktionen sq, sqrt,
floor, wobei sq(x)=x^2, etc sind ... Der Ausdruck x^2 ist naemlich
eigentlich keine Funktion, sondern ein Term. Es hat sich aber
eingebuergert, ueber diese Ungenauigkeit wegen der besseren Lesbarkeit
hinwegzugehen.

Die Funktion 1/x eingeschraenkt auf RR^+ ist streng monoton fallend.

Der Graph einer streng monoton steigenden Funktion steigt von links
nach rechts gelesen an. Der Graph einer monoton steigenden Funktion
darf auch streckenweise liegenbleiben.

Ist eine Funktion f:D->W streng monoton steigend, oder streng monoton
fallend, und ist W so klein gewaehlt, dass tatsaechlich jedes Element
von W auch als Funktionswert auftritt, so gibt es eine eindeutig
bestimmte Funktion g:W->D, die f umkehrt, sodass also gilt g(f(x)) =
x. Man nennt g die Umkehrfunktion von f.

Beispiel f(x)=x^2 D=RR^+_0, W=RR^+_0. g(x)=sqrt(x).
Achtung: Nimmt man D=RR, so ist f nicht monoton.

Die Umkehrfunktion g ist eindeutig bestimmt und jeweils auch streng
monoton steigend oder fallend. Ausserdem ist f die Umkehrfunktion von
g. Man schreibt ueblicherweise f^(-1) fuer die Umkehrfunktion. Man
erhaelt den Graphen der Umkehrfunktion aus dem Graphen von f durch
Spiegelung an der 45 Grad steilen Ursprungsgeraden.


2.3 Grenzwerte von Funktionen
-----------------------------


Ist f:D->W eine Funktion und a:RR ein Punkt, der zwar nicht in D
liegen muss, aber doch D beliebig nahe kommt (formal: fuer jedes
epsilon>0 existiert a':D mit |a-a'|<=epsilon "Beruehrpunkt"). Man
schreibt dann

lim f(x) = b
x->a

falls fuer jede Folge (x_n)_n mit x_n : D  und
lim x_n = a gilt lim f(x_n) = b.
n->oo            n->oo

Die Funktionswerte f(x_n) streben also gegen b, sofern die
Argumentfolge (x_n)_n gegen a strebt.

Man betrachtet auch den Fall, wo a=oo oder a=-oo ist. Hier muss der
Definitionsbereich beliebig grosse, bzw beliebig kleine Elemente
enthalten (a=oo: fuer alle N:RR existiert a':D mit a'>=N. Und a=-oo:
fuer alle N:RR existiert a':D mit a'<=N)

Beispiele:

lim x^2+7 = a^2+7  und Analoges gilt fuer beliebige Polynome
x->a

lim 1/x = 0
x->oo

lim x^2+7 = oo   /* analog zur bestimmten Divergenz von Folgen */
x->oo

lim   (x-1)/(x^2-1) = lim 1/(x+1) = 1/2
x->1                  x->1

Grenzwerte muessen nicht existieren, z.B. lim 1/x oder lim sin(1/x)
                                          x->0         x->0
					  
Manchmal schraenkt man bei der Limesbildung die Funktion auf Werte >a
oder <a ein. Man naehert sich also dem Punkt von oben oder
unten. Dafuer schreibt man dann

lim f(x)   /* Annaeherung von oben */
x->a+ 

lim f(x)   /* Annaeherung von unten */
x->a-

Es gilt z.B.

lim floor(x) = 1  aber lim floor(x) = 0  und lim floor(x) existiert nicht. 
x->1+                  x->1-                 x->1

lim 1/x = oo     und lim 1/x = -oo
x->0+                x->0-

Bemerkung:

Ist       lim f(x)=b, so folgt lim f(x) = lim f(x) = b
          x->a                 x->a+      x->a-

Gilt lim f(x) = lim f(x) = b, so ist lim f(x) = b
     x->a+      x->a-                x->a



2.4 Stetigkeit von Funktionen
-----------------------------

Eine Funktion f:D->W ist im Punkt a:D stetig, wenn lim f(x) = f(a).  
                                                   x->a

Beispiele:

f(x)=x^2 ist ueberall stetig.
Die floor Funktion ist an allen nicht-ganzzahligen Punkten stetig. 
Die Betragsfunktion ist ueberall stetig.
Die Funktionen sin, cos, tan, exp, ln, sind ueberall (in ihrem Definitionsbereich!) stetig.

Stetigkeitssaetze:

Sind f,g an einem Punkt a stetig, so auch f+g, f*g, f/g /* wenn g(a)=/=0*/,
f o g, also die Funktion h mit h(x)=f(g(x)), ...

Bemerkung (epsilon-delta Charakterisierung der Stetigkeit)

f:D->W ist im Punkt a:D genau dann stetig, wenn fuer jedes epsilon>0
ein delta>0 existiert, sodass fuer alle x mit |x-a|<=delta gilt
|f(x)-f(a)|<=epsilon.

Fuer jede geforderte Genauigkeit epsilon gibt es eine Umgebung von a,
innerhalb derer alle Funktionswerte hoechstens epsilon von f(a)
abweichen.

Satz (Zwischenwertsatz): Ist f:[a,b]->RR stetig und ist f(a)<0<f(b),
 so gibt es ein c:[a,b] mit f(c)=0.

Zum Beweis gibt man eine Intervallschachtelung fuer c an, welche
anschaulich gesprochen, die gesuchte Nullstelle durch sukzessive
Intervallhalbierung annaehert.

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