Analysis-WS16-01

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1 Folgen und Reihen
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1.1 Grenzwert einer Folge
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lim    1/n = 0
n->oo

lim     1/(n+1) = 0
n->oo

lim   n/(n+1) = lim (n+1-1)/(n+1) = lim 1 - 1/(n+1) = 1
n->oo           n->oo               n->oo


lim    n / 2^n   = 0
n->oo


Formal: Eine Folge (a_n)_n ist eine Funktion NN->RR, also fuer jedes
n:NN eine reelle Zahl a_n. Man schreibt

                           lim a_n = a, 
                          n->oo


falls fuer jedes epsilon>0 ein N:NN (hier steht NN fuer die Menge der
natuerlichen Zahlen. Analog RR, QQ, CC) existiert, so dass |a_n - a|
<= epsilon fuer alle n>N. "Fuer genuegend grosses n kommen die
Folgenglieder dem Grenzwert beliebig nahe.". Man sagt, a sei der
Grenzwert oder Limes der Folge (a_n)_n.

Wir beweisen, dass lim 1/n = 0: 
                  n->oo

Sei epsilon>0 vorgegeben. Waehle N so, dass epsilon > 1/N Dann ist |1/n| < 1/N < epsilon fuer alle n>N.

Wir beweisen, dass lim n/2^n = 0
                   n->oo

Fuer n>3 ist n^2 <= 2^n. (gilt fuer n=4. Falls fuer festes n gueltig, dann auch fuer n+1: (n+1)^2 = n^2+2n+1 <= 2^n+2n+1 <= 2^n + 2^n = 2^(n+1)). 
Sei jetzt epsilon>0 vorgegeben. Waehle N so dass 1/N<epsilon und N>3.
Wenn n>N, dann ist n/2^n <= n/ n^2 = 1/n < epsilon.

Alternativ: 0 <= lim n/2^n <= lim n/n^2 = lim 1/n = 0
                n->oo        n->oo        n->oo

Grundlage fuer letzteres ist folgender

Satz: Gilt a <= a_n <= b_n und ist lim b_n = a, so folgt lim a_n = a
                                   n->oo                 n->oo

Beweis: Sei N:NN vorgegeben und epsilon > 0 so gewaehlt, dass
|b_n-b|<epsilon fuer alle n>N. Dann ist auch |a_n-a|<epsilon fuer alle
n>N. Dasselbe epsilon "hilft" also auch fuer den Grenzwert der a_n.


Achtung: Ein Grenzwert muss nicht existieren, z.B.

   lim  (-1)^n existiert nicht
   n->oo

lim   n  existiert auch nicht, aber man kann schreiben lim  n = oo
n->oo                                                  n->oo

und sagt, die Folge (a_n)_n mit a_n=n divergiert bestimmt gegen oo. Hingegen
divergiert die Folge ((-1)^n)_n unbestimmt, wie man sagt.

Grenzwerte vertauschen mit den Grundrechenarten und anderen Operationen, so gilt zum Beispiel

lim (1+n)/n =  lim  1+1/n = 1 und lim 2^(1/n) = 2^0 = 1.
n->oo         n->oo               n->oo


1.2 Summen
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Ist (a_k)_k eine Folge und n,N : NN, so definiert man

       N
      __
      >  a_k  := a_n + a_(n+1) + ... + a_N
      -- 
     k=n

meistens ist n=0 oder n=1. Wir schreiben auch sum(a_k,k=n..N). Natuerlich koennen die Indizes (also k) auch anders heissen. 

sum(k,k=n..n) = a_n

sum(k,k=n..N) =  0  für n > N nach Konvention


Es gilt:

sum(k,k=1..n) = 1 + 2 + 3 + ... + n = n*(n+1) / 2

sum(q^k,k=0..n) = (q^(n+1) - 1) / (q - 1)

sum(k^2,k=1..n) =  1/6*n(n+1)(2n+1)

Nicht immer kann man eine "geschlossene Form" finden, z.B. laesst sich

H_n := sum(1/k, k=1..n) nicht wesentlich vereinfachen. Man nennt H_N die
n-te harmonische Zahl. 



1.3 Teleskopsummen
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Ist (a_n)_n eine Folge, und gilt b_n = a_n - a_(n-1) fuer n>0, so folgt
sum(b_n,n=1..N) = 
a_1 - a_0 + a_2 - a_1 + a_3 - a_2 + ... + a_N - a_(N-1) = a_N - a_0.

Solch eine Summe heisst Teleskopsumme.

Man kann damit interessante Summenformeln herleiten:

n^3 - (n-1)^3 = 3n^2-3n+1 (binomische Formel)

Also gilt:

sum(3k^2-3k+1,k=1..n) = n^3

Es folgt

sum(3k^2-3k,k=1..n) = n^3 - n
sum(3k^2,k=1..n) = n^3 - n - 3/2 n(n+1)
sum(k^2,k=1..n) = 1/3(n^3 - n - 3/2 n(n+1)) = 1/6*n(n+1)(2n+1)

Weiteres Beispiel:

q^n-q^(n-1) = q^(n-1)*(q-1).

Also gilt:

sum(q^(k-1)*(q-1),k=1..n) = q^n - 1

Es folgt

sum(q^(k-1),k=1..n) = (q^n-1)/(q-1)
sum(q^k,k=0..n-1) = (q^n-1)/(q-1)    /* Umbenennung der Laufvariablen */
sum(q^k,k=0..n) = (q^n-1)/(q-1) + q^n = (q^(n+1) - 1) / (q - 1)

Und noch ein Beispiel:

1/(k*(k+1)) = 1/k - 1/(k+1)     /* a_k = - 1/(k+1) */

Also ist sum(1/(k*(k+1)),k=1..n) = 1 - 1/(n+1)


1.4 Reihen
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Ist (a_k)_k eine Folge, so definiert man

   
      oo               N
      __              __
      >  a_n  := lim  >  a_n
      --        N->oo --
     n=n_0            n=n_0

und schreibt wie immer auch sum(a_n, n=n_0..oo). Ein Ausdruck dieser Form
heisst Reihe. Meist ist n_0 = 0 oder 1. 

Wie jeder Grenzwert kann solch eine Reihe auch (bestimmt oder unbestimmt divergieren).

Die Summe sum(a_n,n=n_0..N) heisst N-te Partialsumme. Der Wert der Reihe ist also definiert als Grenzwert der N-ten Partialsummen fuer N->oo. 
Beispiele:

sum(q^n,n=0..oo) = 1/(1-q), falls |q| < 1 (q kann auch negativ sein)
sum(q^n,n=0..oo) = oo (bestimmte Divergenz),
      falls q >= 1
sum(q^n,n=0..oo) divergiert unbestimmt, wenn q <= -1

Man hat jeweils den Grenzwert von (q^(N+1)-1)/(q-1) fuer N->oo zu studieren.

Illustration: 
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2            /* q = 1/2 */
1 + 1 + 1 + 1 +... = oo                         /* q = 1 */
1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 + ... = 2/3   /* q = -1/2 */
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...  divergiert unbestimmt


Weitere Beispiele:

Dezimalbrueche: 3,14159 ... = 3 + 1*1/10 + 4*1/100 + ...
sum(d_k*10^(-k),k=0..oo) = x, falls d_k die k-te Dezimalstelle von x:[0,10[
ist. 

sum(1/k,k=1..oo) = oo (Harmonische Reihe)
sum(1/k*(k+1),k=1..oo) = 1   /* Partialsummen bilden Teleskope */

Eine Reihe sum(a_k,k=n..oo) konvergiert absolut, wenn auch die Reihe
sum(|a_k|,k=n..oo) konvergiert.

Wenn eine Reihe absolut konvergiert, so duerfen ihre Glieder
umgeordnet werden. Konvergiert eine Reihe zwar, aber nicht absolut, so
kann sich durch Umordnung der Glieder der Grenzwert veraendern, die
Umordnung ist also hier im allgemeinen unzulaessig.

Beispiel:

sum((-1)^(n+1) * 1/n,n=1..oo) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... konvergiert (s.u.)

aber die Konvergenz ist nicht absolut, denn sum(1/n,n=1..oo)
divergiert. Durch Umordnung kann ein beliebiger anderer Grenzwert
erreicht werden, z.B. 47: Nimm erst so viele positive Reihenglieder
bis man etwas ueber 47 liegt, dann wieder soviele negative, bis man
etwas drunterliegt und so weiter. Das geht, weil auch die Reihe der
positiven Glieder divergiert und ebenso die der negativen.



1.5 Konvergenzkriterien fuer Reihen
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Majorantenkriterium:

Sei sum(c_k,k=n..oo) eine konvergente Reihe mit lauter nichtnegativen Gliedern und gilt |a_k| <= c_k, so konvergiert auch sum(a_k,k=n..oo) absolut.

Beispielanwendung: 1/k^2 <= 2/k*(k+1), also konvergiert die Reihe
sum(1/k^2,k=1..oo) absolut. Den Wert der Reihe kann man so aber nicht
bestimmen, man weiss nur, *dass* es ihn gibt. Zur Information: Es ist
sum(1/k^2,k=1..oo)=pi^2/6. 

      
Quotientenkriterium:

Sei sum(a_k,k=n..oo) eine Reihe und 0 <= q < 1 eine Zahl, sodass gilt:

|a_(k+1)/a_k| <= q

fuer alle k bis auf endlich viele Ausnahmen am Anfang ("fast ueberall").

Dann konvergiert die Reihe absolut. 

/* Das Quotientenkriterium ergibt sich aus dem Majorantenkriterium mit der geometrischen Reihe als Majorante */

Beispiel:

sum(1/k!,k=1..oo). Es ist k! / (k+1)! = 1/(k+1) <= 1/2 fuer k>0, also
konvergiert die Reihe. /* Der Grenzwert ist e=2.71828... */

NB k! = 1*2*3*4*...*k ("k Fakultaet").

Ebenso konvergiert sum(x^k/k!,k=1..oo) absolut fuer alle x:RR. Der
Grenzwert ist e^x. ("Exponentialreihe"). Bemerkung: Man kann
unmittelbar aus dieser Reihendarstellung beweisen, dass e^(x+y) = e^x*e^y etc.

NR: Hier ist |a_(k+1)/a_k| = |x/(k+1)| < 0,99 fuer k gross genug.
Erste paar Reihenglieder extra behandeln.

Leibnizsches Kriterium:

Seien a_k >= 0 und a_k >= a_(k+1) (Folge faellt monoton) und
lim(a_k,k->oo) = 0 (Nullfolge). Dann konvergiert die Reihe
sum((-1)^k*a_k,k=n..oo).

Beispiel: Die Reihe sum((-1)^(k+1)*1/k,k=1..oo) konvergiert. Ueber den
Grenzwert macht das Kriterium wie immer keine Aussage. Hier ist er
ln(2).

Weitere Kriterien: Cauchy-Kriterium, Wurzelkriterium.