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Analysis-WS16-07

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6. Differentiation      
==================

6.1 Definition und Beispiele
----------------------------


Sei f : D->W wobei D <= RR, W <= CC und x:D.
Die Funktion f ist an der Stelle x:D differenzierbar, wenn der Grenzwert

lim   (f(x+h) - f(x)) / h
h->0

existiert. Man schreibt dann f'(x) fuer diesen Grenzwert. 

Alternative Notation: df(x)/dx (gelesen df(x) nach dx).

Im Falle W <=RR ist f'(x) die Steigung der Tangente an den Graphen von f
an der Stelle x, also die Steigung des Graphen im Punkt x. Je steiler,
desto groesser ist f'(x); ist f(x)=0, so verlaeuft der Graph im Punkt
x eben.

Im Falle W<=CC ist der Graph von f eine gewundene Kurve, f'(x) gibt
an, wie stark sich in einer Umgebung von x der Realteil und der
Imaginaerteil von x aendern.

Die Funktion f'(x), die die Steigung von f in Abhaengigkeit von x
angibt heisst Ableitung von f.



Beispiele: 

f(x) = c /* konstante Funktion */

lim  (c-c)/h = 0, also f'(x)=0 und der Grenzwert existiert fuer alle x:R 
h->0

oder sogar x:CC. (Steigung ueberall 0)

f(x) = x

lim  (x+h-x)/h = lim  h/h = 1, also f'(x)=1 (Steigung konstant 1) 

f(x) = x^2

lim  ((x+h)^2-x^2)/h = lim  (2hx+h^2)/h = 2x, also f'(x)=2x. 
(Steigung proportional zu x)

f(x) = 1/x und D=RR^+.

lim  (1/(x+h)-1/x)/h = lim  (x-x-h)/(h*x*(x+h)) = - lim h/(h*x*(x+h)) = - lim 1/(x*(x+h)) = - 1/x^2. Also f'(x) = - 1/x^2.

f(x) = exp(x)

lim (exp(x+h)-exp(x))/h = exp(x) * lim (exp(h)-1)/h = exp(x).

f(x) = sin(x)

lim (sin(x+h)-sin(x))/h = lim (sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)-sin(x))/h =
(cos(x)lim sin(h)/h) + sin(x)lim(cos(h)-1)/h = cos(x)

Analog: cos'(x) = -sin(x)

f(x) = g(lambda*x)

lim (g(lambda*x+lambda*h)-g(lambda*x))/h =
lim (g(lambda*x+k)-g(lambda*x))/(k/lambda) =
lambda * g'(lambda x)


Bemerkung: Bei komplexwertigen Funktionen gilt

Re(f'(x)) = (Re f)'(x)   Im(f'(x)) = (Im f)'(x)

Daraus ergeben sich alternative Beweise fuer die Ableitungen der
trigonometrischen Funktionen:

sin'(x) = Im(exp(ix)') = Im(i*exp(ix)) = cos(x)
sin'(x) = Re(exp(ix)') = Re(i*exp(ix)) = -sin(x)


Bemerkung: Ist eine Funktion f in einem Punkt x differenzierbar, so
ist sie in x auch stetig. Die Umkehrung gilt nicht immer;
Gegenbeispiel: f(x)=|x| ist in x=0 stetig, aber nicht differenzierbar. 


6.2 Differentiations-Regeln
---------------------------


Grundrechenarten:

Seien f,g:D->CC, lambda:CC

Es gelten

-) (f+g)'(x) = f'(x)+g'(x)
-) (f-g)'(x) = f'(x)-g'(x)
-) (lambda*f)'(x) = lambda*f'(x)
-) (f*g)'(x) = f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)
-) (f/g)'(x) = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)) / (g(x)^2)   (g(x) =/= 0)

Beispiele:

f(x) = x^3 = x^2*x
f'(x) = 2x*x + x^2*1 = 3x^2.

Allgemein gilt: Falls f(x)=x^n, so ist f'(x)=n*x^(n-1) und zwar nicht
nur fuer n:NN, sondern fuer alle n:CC.

f(x) = sin(x)*exp(x)
f'(x) = cos(x)*exp(x)+sin(x)*exp(x)

f(x) = tan(x) = sin(x)/cos(x)
f'(x) = 1/(cos(x)^2)*(cos(x)^2 + sin(x)^2) = 1/cos(x)^2



Kettenregel:

Sei g:D->W, h:W->CC

f(x) = h(g(x))

Dann ist f'(x) = h'(g(x))*g'(x)

Beispiele:
f(x)=exp(-x^2)
f'(x)=-exp(-x^2)*2x

f(x)=(sin(x))^2
f'(x)=2sin(x)*cos(x)



Differentiation der Umkehrfunktion.

Sei f:D->W und g:W->D die Umkehrfunktion von f (existiert, wenn f auf
D streng monoton ist).

Es gilt dann:  g'(f(x))=1/f'(x)

Beispiel:

f(x)=exp(x), g(x)=ln(x)
g'(exp(x)) = 1/exp(x), also g'(z)=1/z

f(x)=sin(x), g(x)=arcsin(x)
g'(sin(x))=1/cos(x)=1/sqrt(1-sin(x)^2), also g'(z)=1/sqrt(1-z^2)

f(x)=cos(x), g(x)=arccos(x)
g'(cos(x))=-1/sin(x)=-1/sqrt(1-cos(x)^2), also g'(z)=-1/sqrt(1-z^2)

f(x)=tan(x), g(x)=arctan(x)
g'(tan(x))=cos(x)^2=1/(1+tan(x)^2), also g'(z)=1/(1+x^2)
NR: tan(x)^2=(1-cos(x)^2)/cos(x)^2 ==> cos(x)^2=1/(1+tan(x)^2)

Es ist bemerkenswert, dass die Ableitungen der Umkehrfunktionen von
exp,sin,cos,tan vergleichsweise einfach aussehen.

Beispiel: f(x)=x^x
f(x) = exp(ln(x^x)) = exp(x*ln(x))
f'(x) = exp(x*ln(x))*(1*ln(x)+x*1/x) = x^x * (ln(x)+1)


Anwendungsbeispiel:

lim log( (1+x/n)^n) = lim n*log(1+x/n) = 
n->oo

lim x * log(1+x/n)/(x/n) = 
n->oo

lim x * log(1+h)/h = x * log'(1) = x
h->0

also ist lim (1+x/n)^n = e^x 
         n->oo

"Stetige Verzinsung". Die jaehrlichen Zinsen seien x, z.B. x=0.03
(drei Prozent). Das Jahr wird in n Teile zerlegt, z.B. n=360, nach
jedem Teil werden die Zinsen berechnet und zum Kapital addiert. Es
multipliziert sich also mit (1+x/n), bzw. nach einem Jahr um
(1+x/n)^n. Laesst man die Teile im kleiner werden, so wird im
Grenzwert das Kapital mit e^x multipliziert.


6.3 Höhere Ableitungen
----------------------

Man definiert die zweite Ableitung einer Funktion als die Ableitung
der Ableitung. Sie ist ein Mass fuer die Aenderung der Steigung oder
die Kruemmung des Graphen.

f''(x) = g'(x) wobei g(x)=f'(x)

Natuerlich muss f'(x) in einer Umgebung von x existieren, damit f''(x)
in x existiert.

Man schreibt auch d^2 f(x) / dx^2 fuer f''(x).


6.4 Monotonie und Konvexitaet
-----------------------------


Ist f'(x)>0 in einem Intervall I, so steigt f streng monoton in I
Ist f'(x)<0 in einem Intervall I, so faellt f streng monoton in I 
Ist f''(x)>=0 in einem Intervall I, so ist f in I konvex (nach oben gebogen)
Ist f''(x)<=0 in einem Intervall I, so ist f in I konkav (nach unten gebogen). 

Ist f in einem Intervall monoton wachsend, bzw. fallend, so gilt in
diesem Intervall f'(x)>=0, bzw. f'(x)<=0.

Eine analoge Umkehraussage kann fuer die zweite Ableitung getroffen
werden.

Die Funktion f(x)=x^3 ist in ganz RR streng monoton steigend, aber f'(0)=0.

Formal definiert man eine auf einem Intervall I definierte Funktion f
als konvex, wenn fuer alle x,y:I und lambda:[0,1] gilt:

    f(lambda*x + (1-lambda)*y) <= lambda*f(x)+(1-lambda)*f(y)

Hier ist z := lambda*x + (1-lambda)*y ein Punkt zwischen x und y und
lambda*f(x)+(1-lambda)*f(y) ist der Punkt oberhalb von z auf der
Geraden durch (x,f(x)) und (y,f(y)).

Konvexitaet bedeutet also, dass der Graph zwischen zwei Punkten sich
jeweils unterhalb der Verbindungsgerade der beiden Punkte befindet
("nach oben gebogen"). Beispiele auf ganz RR konvexer Funktionen sind
exp(x) und f(x)=x^2 und (ein Grenzfall) auch f(x)=x.

Eine Funktion f(x) ist konkav, wenn -f konvex ist, oder - 
gleichbedeutend - die obige Ungleichung mit >= statt mit <= erfuellt ist
("nach unten gebogen"). Die Wurzelfunktion ist z.B. auf [0,oo] konkav.

Anwendung: Fuer lambda:[0,1] und x,y:RR^+_0 gilt

x^lambda * y^(1-lambda) <= lambda*x + (1-lambda)*y

Beweis:

Der Logarithmus ist konkav (zweite Ableitung -1/x^2). Daher gilt

lambda*ln(x)+(1-lambda)*ln(y) <= ln(lambda*x + (1-lambda)*y)

Also

ln(x^lambda*+y^(1-lambda)) <= ln(lambda*x + (1-lambda)*y)

woraus die Behauptung durch Anwenden der monotonen Funktion exp folgt.

Diese Abschaetzung hat weitere Anwendungen in der linearen Algebra
(siehe [Forster]).



6.5 Lokale Extrema
------------------

Sei f:]a,b[ -> RR eine Funktion. f hat in x:]a,b[ ein lokales Maximum
/ Minimum, wenn epsilon>0 existiert, sodass fuer alle y mit
|x-y|<epsilon gilt f(y)<=f(x) (Maximum), bzw f(y)>=f(y) (Minimum). Hat
man <,> statt <=,>=, so spricht man von einem strengen
Maximum/Minimum. Der Oberbegriff fuer Maxima und Minima lautet
Extremum. 

Beispiele:

f(x)=x^2 hat bei x=0 ein lokales Minimum.

f(x)=sin(x) hat lokale Maxima bei pi/2+2*k*pi fuer k:ZZ und lokale
Minima bei -pi/2+2*k*pi fuer k:ZZ.

f(x)=exp(x) hat keine lokalen Extrema.

Satz: Hat f bei x ein lokales Extremum und ist f bei x differenzierbar, so ist f'(x)=0.

Intuitive Begruendung: Die Steigung bei x muss Null sein, sonst
koennte man ja in der Naehe von x noch nach oben oder unten gehen.

Die Umkehrung gilt nicht, z.B. ist f'(0)=0 fuer f(x)=x^3.

Satz: Gilt f'(x)=0 und f''(x)>0, so hat f bei x ein strenges lokales Minimum;
Ist f''(x)<0, so hat f bei x ein strenges lokales Maximum.

Intuitive Begruendung: f hat bei x Steigung 0 und ist nach unten
gebogen. Es muss ein Maximum vorliegen.

Beispiel: f(x) = x^3 - 2*x^2 + 1
f'(x)=3x^2-4x
f'(x)=0 <=> x:{0,4/3}
f''(x)=6x-4
f''(0)=-2, f''(4/3)=2
Strenges lokales Maximum bei x=0; strenges lokales Minimum bei x=2/3.

Bemerkung: interessiert man sich fuer Extremwerte in einem
geschlossenen Intervall, so muss man die Intervallgrenzen gesondert
behandeln.

Beispiel: Man bestimme alle Extrema von f(x)=x^2 in [-1,1]. Lokales
(und absolutes) Minimum bei x=0 und es ist f'(0)=0. Lokale und
absolute Maxima bei x=-1, x=+1, aber f'(1), f'(-1) =/= 0.

Man bestimme das lokale Minimum von f(x)=x^x:
Es ist f'(x)=x^x(ln(x)+1) und f''(x)=x^x((ln(x)+1)^2+1/x)
Die einzige Nullstelle von f' ist 1/e und f''(1/e)=e*(1/e)^(1/e)>0.


6.6 Mittelwertsätze
-------------------

Satz (Zwischenwertsatz): Sei f: [a,b]->RR eine stetige Funktion. Fuer
jeden Wert y:[f(a),f(b)], bzw y:[f(b),f(a)],  gibt es ein x:[a,b] mit f(x)=y.
      
Begruendung: man beschreibt das gesuchte x durch eine
Intervallschachtelung. Aufgrund der Stetigkeit von f ergibt sich dann
der gewuenschte Funktionswert, Details s. Forster, S113.

Verallgemeinerung: Sei f: [a,b]->RR eine stetige Funktion. Seien
u,v:[a,b] mit f(u)<=f(v). Fuer jeden Wert y:[f(u),f(v)] gibt es ein
x:[a,b] mit f(x)=y.

Satz (Mittelwertsatz der Differentialrechnung): Ist f:[a,b]->RR stetig
differenzierbar, so gibt es x:[a,b] mit f'(x)=(f(b)-f(a))/(b-a).

D.h. an einem Punkt in [a,b] entspricht die Steigung gerade der
Steigung der Sekanten durch a und b.

Beweis: Durch Umskalierung kann man sich auf den Fall f(b)=f(a)
beschraenken ("Satz von Rolle"). Dann aber folgt die Aussage aus der
Tatsache, dass zwischen a und b ein lokales Extremum liegen muss.

Anwendungen: 

Satz: Ist I ein Intervall und f:I->W differenzierbar und gilt f'(x)=0
fuer alle x:I, so ist f konstant, also f(x)=c fuer ein c:W und alle
x:D.

Beweis: Seien a,b:I mit a=/=b. Nach dem Mittelwertsatz der
Differentialrechnung:gibt es x:I mit (f(b)-f(a))/(b-a) = f'(x) = 0,
also f(a)=f(b).

Es gilt daher, f(x)=c fuer c:=f(a) fuer beliebig gewaehltes a:I.

Satz: Ist I ein Intervall und f:I->W differenzierbar und gilt
f'(x)=a*f(x) fuer alle x:I, so existiert c mit f(x)=c*exp(a*x).

Beweis: Betrachte g(x)=f(x)*exp(-a*x). Es ist
g'(x)=f'(x)*exp(-ax)-a*f(x)*exp(-ax) = 0 nach Annahme an f. Also ist
g(x) konstant und die Behauptung folgt.

Satz: Ist I ein Intervall und f:I->W differenzierbar und gilt
f''(x)=-a^2*f(x) fuer alle x:I, so existieren c,d mit
f(x)=c*sin(a*x)+d*cos(a*x).



Beweis: Hat f tatsaechlich diese Form, so gilt fuer
f1(x):=f(x)/cos(ax), dass f1(x)=c*tan(ax)+d und weiter
f1'(x)=ac/cos(ax)^2. Daher muesste f1'(x)*cos(ax)^2 konstant sein
(naemlich =ca). Das rechnen wir jetzt nach:

Setze g(x) := f1'(x)*cos(ax)^2 = f'(x)*cos(ax) + a*f(x)*sin(ax).

Es ist
g'(x)=f''(x)*cos(ax)-a*f'(x)*sin(ax)+a*f'(x)*sin(ax)+a^2*f(x)*cos(ax)=0.

Also g(x)=c' fuer ein c':RR. Wir setzen c:=c'/a und bemerken, dass
wiederum unter der Annahme, dass f die gewuenschte Form hat, dann

h(x) := (f(x)-c*sin(ax))/cos(ax)

konstant sein muesste. Das rechnen wir ebenso nach: 

h'(x) = 1/cos(ax)^2 * (f'(x)-ac cos(ax))cos(ax)+a(f(x)-c*sin(ax))sin(ax) =
h'(x) = 1/cos(ax)^2 *
(f'(x) cos(ax) - ac cos(ax)^2 + a f(x) sin(ax) - ac*sin(ax)^2) =
1/cos(ax)^2 *
(f'(x) cos(ax) + a f(x) sin(ax) - ac) = 0

Also gibt es d:RR mit h(x)=d und Rueckeinsetzen liefert f(x)-c*sin(ax)
= d*cos(ax), also f(x)=c*sin(ax)+d*cos(ax) wie gewuenscht.





6.7 Regeln von l'Hospital
-------------------------

Aus dem Mittelwertsatz der Differentialgleichung koennen folgende
nuetzliche Regeln fuer Grenzwerte hergeleitet werden.

Satz (Regeln von L'Hospital):

Seien f,g:D->CC stetig differenzierbar und lim f'(x)/g'(x) = c
                                           x->b

Hier ist b:RR u {oo, -oo}.

Wenn lim f(x) = lim g(x) = 0, so ist lim f(x)/g(x) = c
     x->b       x->b                 x->b

Wenn lim f(x) = lim g(x) = +/- oo, so ist lim f(x)/g(x) = c
     x->b       x->b                 x->b


Beispiele:

lim (exp(x)-1) / x = lim exp(x) / 1 = 1
x->0                 x->0

lim x^x = lim exp(x*ln(x)) = exp(lim(ln(x)/(1/x))) =
x->0      x->0                   x->0

= exp(lim -(1/x)/(1/x^2)) = exp(0) = 1.
      x->0


Achtung: Damit die Regel von L'Hospital anwendbar ist, *muss* eine der
sog.  unbestimmten Formen, also 0/0, +/- oo/oo vorliegen.

Gegenbeispiel:

0 = lim  x / (1+x) =/= lim 1/1 = 1
    x->0               x->0

Beweisskizze fuer den Spezialfall lim f(x)/x mit lim f'(x) = c und lim f(x)=0  
                                  x->0           x->0             x->0

Wir koennen (ggf stetig fortsetzen) annehmen, dass f(0)=0. Zu jedem x
gibt es also y:[0,x], sodass f'(y)= (f(x)-f(0))/(x-0) = f(x)/x. Wenn
also lim f'(y) = c, dann muss auch lim f(x)/x = c sein. 

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