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Komplexe Zahlen

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5 Komplexe Zahlen
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5.1 Definition durch Hinzunahme der Wurzel aus -1
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Man erhaelt die komplexen Zahlen, indem man zu den reellen Zahlen die
*imaginaere Einheit* i, die dem Gesetz i^2 = -1 genuegt, hinzunimmt.

Bemerkung: Man kann nicht "einfach so" Zahlen dazu nehmen. Kaeme
z.B. jemand auf die Idee, eine Zahl j einzufuehren, sodass j=1/0, so
haette man 0*j=1, also 0 = 1*j - 1*j = (1-1)*j = 0*j = 1, ein
Widerspruch. Im Falle der Wurzel aus -1 ist solch eine Hinzunahme
aber widerspruchsfrei moeglich.

Jede komplexe Zahl hat dann die Form a+i*b fuer a,b:RR, denn jeder
Rechenausdruck mit komplexen Zahlen laesst sich mithilfe der folgenden
Rechenregeln auf dieses Format bringen:

Rechenregeln:

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
(a+bi) * (c+di) = ac+(ad+bc)*i+bdi^2 = (ac-bd)+(ad+bc)i wg i^2=-1
(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
(a+bi) / (c+di) = (a+bi)*(c-di) / (c+di)*(c-di) = 1/(c^2+d^2)*(ac+bd+(bc-ad)i)

Ist z=a+bi, so heisst a Realteil und b Imaginaerteil von z.
Man schreibt a=Re(z) und b=Im(z).




5.2 Konjugation und Betrag
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Die Konjugierte von z ist die komplexe Zahl ^z := a-bi.
NB: ^z soll die Ueberstreichung von z, gelesen "z-quer" repraesentieren.

Es ist z * ^z = a^2+b^2 = Re(z)^2 + Im(z)^2.

Man definiert den Betrag einer komplexen Zahl durch
|z| = sqrt(Re(z)^2+Im(z)^2) = sqrt(z * ^z).

Es gilt:

|w+z| <= |w|+|z| (Dreiecksungleichung)
|w*z| = |w|*|z|

Der Division komplexer Zahlen liegt also das Erweitern mit der
Konjugierten des Nenners zugrunde: w/z = w ^z / z z^ = 1/|z|^2 * w * ^z.

Die Menge der komplexen Zahlen wird mit CC bezeichnet (grosses C mit
Doppelstrich).


5.3 Komplexe Zahlenebene
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Man veranschaulicht sich die komplexen Zahlen als Ortsvektoren in der
Ebene (Realteil = x-Koordinate, Imaginaerteil = y-Koordinate). Die
Laenge dieser Vektoren entspricht dann gerade dem eben definierten
Betrag. 

Die Addition komplexer Zahlen entspricht der Vektoraddition, die
Multiplikation entspricht der Operation "stretch and turn": die
Laengen (Betraege) der zu multiplizierenden Vektoren werden
multipliziert, die Winkel der Vektoren, gemessen von der x-Achse
entgegen dem Uhrzeigersinn, werden *addiert*,

Z.B. ist die imaginaere Einheit i der Einheitsvektor in
y-Richtung. Multipliziert man ihn mit sich selbst nach der
"stretch-and-turn" Vorschrift, so erhaelt man offensichtlich die Minus
Eins.

Ebenso gilt natuerlich i^3=-i und i^4=1.

Ist epsilon die komplexe Zahl mit Betrag 1 und Winkel 120 Grad, also

epsilon = -1/2 + 1/2*sqrt(3)*i

so ist epsilon^2 = ^epsilon und epsilon^3=1

Man sagt: epsilon sei eine primitive dritte Einheitswurzel ("Wurzel aus Eins"). 

"Primitiv" deshalb, weil alle drei dritten Einheitswurzeln, naemlich 1, epsilon und ^epsilon Potenzen von epsilon sind. Ebenso ist ^epsilon primitive dritte EW, denn epsilon = ^epsilon^2.

Die Zahlen 1,i,-1,-i sind vierte Einheitswurzeln, i und -i sind sogar primitiv. 


Allgemein ist die komplexe Zahl mit Betrag a und Winkel alpha (im
Bogenmass) gegeben durch

z = a*(cos(alpha) + i*sin(alpha))

Im Beispiel war alpha=2*pi/3 und sin(alpha)=1/2*sqrt(3), cos(alpha)=-1/2. 

Dementsprechend sind die n n-ten Einheitswurzeln gegeben durch
cos(2*phi*k/n)+i*sin(2*pi*k/n), wobei k=0...n-1. Fuer k teilerfremd zu
n, insbesondere k=1 ergeben sich primitive n-te EW.

NB: Alle n-ten EW sind Nullstellen des Polynoms z^n-1, also gibt es
hoechstens n n-te EW und wie wir gesehen haben, genau n.

Die Einheitswurzeln spielen unter anderem bei der diskreten
Fouriertransformation, einem wichtigen Hilfsmittel bei der
Signalverarbeitung eine bedeutende Rolle.


5.4 Komplexe Nullstellen von Polynomen
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In den komplexen Zahlen hat jede (nichttriviale) quadratische
Gleichung eine Loesung, z.B.,

x^2 - 2x + 5 = 0
x_1/2 = 1/2*(-2 +- sqrt(-16)) = -1 +- 4i

Ebenso: sqrt(-3) = sqrt(3)i

Bem: ax^2+bx+c=0 heisst hier "trivial", wenn a=b=0. 

Es gilt sogar, das jedes nichtkonstante Polynom eine Nullstelle in den
komplexen Zahlen hat ("Fundamentalsatz der Algebra"). Hat man eine
Nullstelle gefunden, dann kann man die "rausdividieren" und findet so
insgesamt genau so viele Nullstellen (Vielfachheit eingerechnet), wie
der Grad des Polynoms. 

So hat das Polynom x^3-3x^2+7x-5 = (x^2-2x+5)*(x-1) eine reelle
Nullstelle, naemlich 1 und zwei komplexe Nullstellen, naemlich -1+4i
und -1-4i.

Da die komplexe Konjugation mit Addition und Multiplikation
vertraeglich ist (^(z+w)=^z + ^w und ^(zw)=^z ^w) folgt, dass wenn z
eine Nullstelle eines Polynoms P(x) (mit reellen Koeffizienten!) ist,
so auch die Konjugierte ^z.


5.5 Konvergenz im Komplexen
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Konvergenz von Folgen und Grenzwerte von Funktionen werden im
Komplexen genauso wie im Reellen definiert. An die Stelle des
Absolutbetrages tritt hier natuerlich der Betrag der komplexen Zahlen.

Also konvergiert eine Folge (a_n)_n von komplexen Zahlen gegen b:CC,
wenn fuer jedes epsilon>0 ein N:NN existiert, sodass fuer alle n>=N
gilt |a_n-b|<epsilon.

Die Konvergenzkriterien fuer Reihen und bereits hergeleitete
Summenformeln gelten sinngemaess fort.

Beispiel: z := 1/(1+i) = 1/2*(1-i). Es ist |z|=1/2<1, also ist
sum(1/(1+i)^k,k=0..oo) = 1 / (1-z) = 2 / (1+i) = 1-i. 



5.6 Die komplexe Exponentialfunktion
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Man erweitert die Exponentialfunktion exp(x)=e^x auf die komplexen
Zahlen durch die folgende Setzung:


e^(a+bi) = e^a * (cos(b) + i*sin(b))

also insbesondere e^(i*t) = cos(t) + i*sin(t).

Diese Definition ist aus folgenden Gruenden sinnvoll:

* Die Potenzgesetze gelten fort:

   e^(w+z) = e^w*e^z, selbst wenn w,z komplex sind

* Die Reihenentwicklung

   e^z = sum(z^k/k!, k=0..oo)

gilt auch fuer die oben definierte Fortsetzung der e-Funktion auf die
komplexen Zahlen.

NB: Man kann die Exponentialreihe als Definition der komplexen
Exponentialfunktion nehmen und dann die obigen Gleichungen beweisen.

Es gilt sin(t) = Im(e^(it)), cos(t) = Re(e^(it)). Daraus erhaelt man
folgende Reihenentwicklungen fuer die trigonometrischen Funktionen:

sin(x) = sum((-1)^k * x^(2k+1)/(2k+1)!, k=0..oo)
cos(x) = sum((-1)^k * x^(2k)/(2k)!, k=0..oo)

Daraus kann man z.B. ableiten

lim sin(x)/x = lim (x+O(x^2))/x = 1
x->0           x->0

lim (cos(x)-1)/x = lim (O(x^2))/x = 0
x->0               x->0

Fuer den speziellen Wert x=pi ergibt sich aus der Definition der
Exponentialfunktion die beruehmte Eulersche Formel

                     i pi 
                   e       =  -1

und ebenso e^(2*pi*i)=1. 




5.7 Polarkoordinaten
- - - - - - - - - -

Jede komplexe Zahl z=a+bi kann in der Form r*e^(i*phi) geschrieben
werden, wobei r=|z| = sqrt(a^2+b^2) und phi der Winkel des Ortsvektors
(a,b) ist. Es ist phi = arctan(b/a) oder phi = pi-arctan(b/a), je
nachdem, ob a positiv oder negativ ist. In vielen Programmiersprachen
gibt es die Funktion atan2 fuer diesen Zweck.

Man erhaelt als Anwendung eine praktische Darstellung der n-ten Einheitswurzeln: und zwar definiert man

w_z := e^(2*pi*i / n)

und die Eckpunkte eines regelmaessigen n-Ecks vom Radius Eins in der Zahlenebene sind dann w_z, w_z^2, ..., w_z^n, wobei w_z^n=1 gilt. 

Anwendung: Die Gleichung e^x = z hat fuer alle z:CC eine Loesung, naemlich ln(r)+i*(phi+2*pi*k), falls z=r*e^(i*phi) und k:ZZ beliebig.

Man findet die Notation Ln(z) fuer diese Loesung im Falle k=0 und
phi:]-pi;pi] und spricht vom Hauptwert des komplexen Logarithmus. Wir
verwenden diese Notation und Sprechweise nicht.


5.8 Komplexe Potenzen
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Fuer reelles a>0 und komplexes z definiert man

a^z := exp(z * ln(a))

Es gilt dann a^(w+z)=a^w*a^z. 


Potenzen mit komplexen Basen sind ebenso wie solche mit negativen
Basen nach wie vor nur fuer ganzzahlige Exponenten erklaert.

Zwar koennte man z.B. setzen, (-1)^(0.5) = i, aber warum nicht -i.
Bei komplexen Exponenten und negativen Basen ergeben sich weitere
Ungereimtheiten: 

e^(i pi) = -1

(-1)^i =?= e^(-pi)


e^(-2pi) =?= 1^i = 1 ????


5.9 Trigonometrische Funktionen im Komplexen
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Fuer reelles x rechnet man leicht nach, dass

cos(x) = (e^(ix)+e^(-ix))/2
sin(x) = (e^(ix)-e^(-ix))/(2i)


Diese Formeln machen nun auch fuer komplexes x Sinn und werden daher
als Definition der trig. Fkt. im Komplexen verwendet.  Die weiter oben
besprochenen Reihenentwicklungen fuer die trig. Fkt. gelten auch fuer
diese komplexen Erweiterungen. 

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