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Integralrechnung

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7. Integralrechnung
===================

7.1 Definition und Beispiele
----------------------------

Definition: Eine Funktion f:[a,b]->CC heisst stueckweise stetig, wenn
es eine Zerlegung des Intervalls [a,b] in endlich viele Teilintervalle
gibt, sodass f auf jedem Teilintervall stetig ist. Formal muss es
a0..an geben mit a=a0<a1<...<an=b, sodass f  eingeschraenkt auf [ai,a(i+1)]
jeweils stetig ist.

Das bedeutet insbesondere, dass f nur an endlich vielen
Ausnahmepunkten unstetig ist und dass diese endlich vielen
Ausnahmepunkte alles "Sprungstellen" sind (links- und rechtsseitiger
Grenzwert existieren). Es ist auch klar, dass eine stueckweise stetige
Funktion beschraenkt ist.

Beispiele: Wenn f ueberhaupt stetig ist, dann ist f natuerlich auch
stueckweise stetig, also z.B. f(x)=x^2*sin(x) auf [-3,7]. Die Funktion
darf aber wie gesagt endlich viele Sprungstellen haben, also zum
Beispiel f(x)=floor(x) auf [-10,10] mit 21 Sprungstellen.

Die Funktion f(x) = 1/x^2 auf [-1,1] hat zwar nur eine
Unstetigkeitsstelle bei x=0, gilt aber wegen dem oben Ausgefuehrten
nicht als stueckweise  stetig.

Definition: Sei f:D->W <= CC eine Funktion, sodass f eingeschraenkt
auf das Intervall [a,b] stueckweise stetig ist. Das Riemann-Integral
ist dann als folgender Grenzwert definiert:

                        N-1
   b                    ___
   /                    \
   | f(x) dx  := lim     >   f(a+k(b-a)/N)*(b-a)/N
   /             N->oo  /
   a                    ---
                        k=0

Man kann zeigen, dass dieser Grenzwert immer existiert.

Wir schreiben auch int(f(x) dx, a..b)

Beispiele:

int(x dx, 0..b) = lim sum(k*b/N * b/N,k=0..N-1) = lim b^2/N^2*sum(k,k=0..N-1) = 
                  N->oo

= lim b^2/N^2*N*(N-1)/2 = b^2/2. 


int(x^2 dx, 0..b) = lim sum((k*b/N)^2 * b/N,k=0..N-1) =
= lim b^3/N^3*sum(k^2,k=0..N-1) = 1/3 b^3.

Man deutet das Integral geometrisch als die Flaeche unter dem Graphen
von f im Intervall a..b.



 ^
 |
 1            |        Die Flaeche des krummlinigen Dreiecks, also unterhalb
 |           ||        der Normalparabel ist also int(x^2 dx,x=0..1) = 1/3. 
 |           /|
 .5         / |
 |         -  |
 | _   - °    |
-|-----.5-----1----------->


Die krummlinige Flaeche wird durch Flaechen von immer schmaler
werdenden Rechtecken (der Hoehe f(a + k*(b-a)/N) und Breite (b-a)/N)
angenaehert.


Bemerkung: Normalerweise definiert man das Riemann-Integral zunaechst
fuer beliebige Funktionen als Grenzwert von Summen wie oben, wobei
allerdings die Wahl der Stuetzstellen nicht unbedingt aequidistant zu
erfolgen hat. Existiert der Grenzwert unabhaengig von der Wahl der
Stuetzstellen, sofern nur deren Abstand (Maschenweite) gegen Null
geht, so bezeichnet man die Funktion als "Riemann integrierbar".

Man kann dann zeigen, dass eine Funktion genau dann Riemann
integrierbar ist, wenn sie hoechstens abzaehlbar viele
Unstetigkeitsstellen hat und ausserdem auf dem Intervall [a,b]
beschraenkt ist (Lebesgue-Kriterium). Im Falle einer Riemann-integrierbaren
Funktion genuegen dann natuerlich auch die aequidistanten Unterteilungen.

Es gibt auch noch allgemeinere Integralbegriffe (heutiger Standard ist
das Lebesgue-Integral), mit dem auch noch anderen Funktionen ein
Integral zugewiesen werden kann, insbesondere solchen, die auf einem
offenen Intervall, wie [0,oo[ definiert sind, oder solchen, die
nirgendwo stetig sind, wie etwa die Dirichlet Funktion

d(x) = if x rational then 1 else 0

Fuer unsere Zwecke (und die allermeisten in der Praxis vorkommenden Faelle)
genuegt die Definition des Integrals fuer stueckweise stetige Funktionen. 

Weiteres Beispiel:

int(exp(x) dx, x=0..b).

Zunaechst stellen wir fest

sum(exp(k*b/N),k=0..N-1) = sum(exp(b/N)^k,k=0..N-1) =
(exp(N*b/N)-1) / (exp(b/N)-1)  /* geometrische Reihe */
= (exp(b)-1)/(exp(b/N)-1)

Also sum(exp(k*b/N)*b/N,k=0..N-1) =
b/N * (exp(b)-1)/(exp(b/N)-1).

Der Grenzwert hiervon fuer N->oo ergibt sich zu exp(b)-1, also ist 

int(exp(x) dx, x=0..b) = exp(b)-1. 

Satz: Fuer a<=b<=c gilt (sofern die vorkommenden Ausdruecke ueberhaupt definiert sind)

int(f(x)dx,x=a..b) + int(f(x)dx,x=b..c) = int(f(x)dx,x=a..c)

Begruendung: Intuitiv ist das klar, fuer einen rigorosen Beweis muss
man etwas vorsichtig sein, weil die Zusammensetzung von zwei
aequidistanten Einteilungen im allgemeinen nicht wieder eine
aequidistante Einteilung liefert.

Satz (Mittelwertsatz der Integralrechnung):
Ist f:[a,b]->RR stetig (nicht nur stueckweise!),
so existiert x0:[a,b] derart dass

int(f(x) dx,x=a..b) = f(x0)*(b-a)

Veranschaulichung: f(x0)*(b-a) ist ein Rechteck der Breite b-a und
Hoehe f(x0). Man waehlt zunaechst die Hoehe so, dass diese Flaeche
gerade dem Integral entspricht. Dann erhaelt man mit dem
Zwischenwertsatz einen passenden x-Wert.

Es gilt auch noch folgende allgemeinere Version des Mittelwertsatzes:

Satz: Seien f und g auf [a,b] stetig und g(x)>=0. Es existiert x0:[a,b] mit
int(f(x)*g(x) dx,x=a..b) = f(x0)*int(g(x) dx,x=a..b). 

Beweis: Falls int(g(x) dx, x=a..b)=0, so ist g(x)=0 auf ganz [a,b]
(Uebung) und x0 kann beliebig gewaehlt werden. Sei nun int(g(x) dx,
x=a..b) >0 und m das absolute Minimum von f auf [a,b] und M das
Maximum.

Setze mu := int(f(x)*g(x) dx, x=a..b)/int(g(x) dx, x=a..b). Wegen
m*int(g(x) dx, x=a..b) <= int(f(x)*g(x) dx,x=a..b) <= M*int(g(x) dx,
x=a..b) (hier benutzt man g(x)>=0), liegt mu zwischen m und M und wird nach dem Zwischenwertsatz
von f angenommen. Das liefert das gewuenschte x0.  QED

Das folgende Beispiel zeigt, dass die Annahme int(g(x) dx, x=a..b) !=
0 anstelle von g(x)>=0 nicht hinreichend ist.

Setze f(x)=x, g(x)=x^3, a=-1, b=1,1 

int(x*x^3 dx, x=1..1,1) = [1/5 x^5]_{-1}^{1,1} = 0,52..
int(x*x^3 dx, x=1..1,1) = [1/4 x^4]_{-1}^{1,1} = 0,12..



 

7.2 Integration und Differentiation
-----------------------------------

Satz:

Sei I ein Intervall (moeglicherweise offen,
moeglicherweise mit Grenzen -oo, oo) und f:D->W stetig.

Fuer jedes a:I ist die Funktion F:I->W definiert durch

F(x) = int(f(t) dt,t=a..x)

auf ganz I stetig differenzierbar  und es ist F'(x)=f(x).

Beweisskizze: F(x+h)-F(x) = int(f(t) dt,t=x..x+h) = h*f(xi) fuer ein
xi:[x..x+h] /*Mittelwertsatz der Integralrechnung*/. Es folgt

F'(x) = lim (F(x+h)-F(x))/h = f(x). 
        h->0


Definition: Sei f stetig. Eine Funktion F mit F'=f heisst
*Stammfunktion* von f.

Man kann den Begriff der Stammfunktion auf stueckweise stetige
Funktionen f erweitern. Hier muss dann die Stammfunktion ueberall
ausser an den Sprungstellen vonf differenzierbar sein und ihre
Ableitung muss dort mit f uebereinstimmen.

Beispiel: Die Betragsfunktion ist in diesem Sinne Stammfunktion der
Signumfunktion.

Aus obigem Satz folgt unmittelbar der Fundamentalsatz der Differential-
und Integralrechnung:

Ist F Stammfunktion von f, so ist int(f(x) dx,x=a..b) = F(b)-F(a)

Begruendung: Zwei Stammfunktionen koennen sich nur um eine Konstante
unterscheiden, die sich bei der Differenz weghebt. Die Funktion
int(f(t) dt,t=a..x) selbst ist aber auch eine Stammfunktion.

Man fuehrt fuer die Differenz F(b)-F(a) die Notation [F(x)]_a^b ein.

Dieser Fundamentalsatz erlaubt die sehr komfortable Auswertung von Integralen:

Beispiele:

Aus d/dx x^s = s*x^{s-1} ergibt sich, dass 1/(s+1)*x^(s+1) Stammfunktion zu x^s ist. Also folgt

    int(x^s dx, x=a..b) = [1/(s+1) x^(s+1)]_a^b

Man schreibt fuer eine Stammfunktion von f abkuerzend

int(f(x) dx)

und bezeichnet das als "unbestimmtes Integral" im Gegensatz zu den
vorher eingefuehrten "bestimmten Integralen" mit expliziten
Integrationsgrenzen.

Zum Beispiel ist: 

int(x dx) = 1/2 * x^2

Die Notation ist aber mit etwas Vorsicht zu verwenden, denn 1/2*x^2 +
1 ist ja auch eine Stammfunktion.

Man sieht daher auch die Notation

int(f(x) dx) = F(x) + C

wobei C eine beliebige Konstante repraesentieren soll.

Aus den bisher gefundenen Ableitungen ergeben sich folgende weitere
Stammfunktionen.

int(sin(x) dx) = -cos(x)
int(cos(x) dx) = -sin(x)
int(exp(x) dx) = exp(x)
int(1/x dx) = ln(x), falls x>0
int(1/x dx) = ln(-x), falls x<0
daher insgesamt: int(1/x dx) = ln(|x|).
int(1/(1+x^2) dx) = arctan(x)
int(1/sqrt(1-x^2) dx) = arcsin(x)

Wir halten noch fest, dass die Integration eine lineare Operation ist:

int(f(x)+g(x) dx) = int(f(x) dx) + int(g(x) dx)
int(lambda*f(x) dx) = lambda * int(f(x) dx)

7.3 Substitutionsregel
----------------------

Die Kettenregel lautet bekanntlich: Ist f(x)=h(g(x)), so ist
f'(x)=h'(g(x))*g'(x)

Dementsprechend ist h(g(x)) eine Stammfunktion zu h'(g(x))*g'(x):

int(h'(g(x))*g'(x) dx) = h(g(x))

Das ist die *Substitutionsregel*.

Die Schwierigkeit liegt darin, dass der *Integrand* dieses ganz
bestimmte Format h'(g(x))*g'(x) fuer geeignete Funktionen g,h haben
muss, damit die Regel anwendbar ist.

Beispiele: 

int(exp(lambda*x) dx) = 1/lambda int(exp(lambda*x)*lambda dx) =
                                             1/lambda exp(lambda*x) 
int(exp(x^2)*x dx) = 1/2 * int(exp(x^2)*2x dx) = 1/2 exp(x^2)

Manchmal ist als Merkhilfe folgende symbolische Rechnung nuetzlich:

Nachdem g'(x) = dg(x)/dx hat man *formal* auch g'(x) dx = dg(x), also

int(h(g(x))*dg(x), x=a..b) = int(h(u) du, u=g(a)..g(b))

und ebenso

int(h(g(x))*dg(x)) = int(h(u) du)

Hiermit kann man wie folgt rechnen:

int(exp(x^2)*x dx) = 1/2*int(exp(u) du) = 1/2 exp(u) = 1/2 exp(x^2)

NR: Setze u:=x^2, also du/dx = 2x, also du = 2x dx, also x dx = 1/2 du. 

Weitere Beispiele:

int(tan(x) dx) = int(sin(x)/cos(x) dx) = - int(1/u du) = - ln(|u|) = -ln(|cos(x)|).

NR: u=cos(x), also du = -sin(x) dx. 


Manchmal muss man die Substitutionsregel auch in umgekehrter Richtung
anwenden:

Sucht man eine Stammfunktion zu f und besitzt g eine Umkehrfunktion
(ggf eingeschraenkt auf ein passendes Intervall) und ist

h(y) = int f(g(y))*g'(y) dy 

so gilt fuer die Stammfunktion F(x) = int f(x) dx, dass

F(g(y)) = h(y),

also F(x) = h(g^(-1)(x)).

Beispiel: Gesucht ist eine Stammfunktion zu f(x)=sqrt(1-x^2)
(definiert auf [-1,1]).

Wir waehlen g(y)=sin(y) auf [-pi/2,pi/2] mit Umkehrfunktion
arcsin:[-1,1]->[-pi/2,pi/2]

Es ist int f(g(y)) g'(y) dy = int sqrt(1-sin(y)^2) * cos(y) dy = int
|cos(y)|*cos(y) dy = int cos(y)^2 dy = 1/2*(y+sin(y)*cos(y)) /*Durch
Raten*/.


Also ist int sqrt(1-x^2)dx = 1/2*(arcsin(x)+x*sqrt(1-x^2))

Insbesondere ist int(sqrt(1-x^2) dx,-1..1) = arcsin(1) = pi/2 (Flaeche
des halben Einheitskreises).

Auch diese Version der Substitutionsregel kann durch die formale
Rechnung mit dx,du anschaulich gemerkt werden:

int sqrt(1-x^2) dx = ... 

Substitution x=sin(y), dx/dy = cos(y), also dx = cos(y)dy

... = int sqrt(1-sin(y)^2) cos(y) dy =
int cos(y)^2 dy = ...


Man kann die Substitutionsregel auch fuer Integrale mit
Integrationsgrenzen verwenden ("bestimmte Integrale"), wenn man die
Grenzen entsprechend mitsubstituiert:

int(f'(g(x))*g'(x) dx, x=a..b) = [f(g(x))]_{x=a}^b = [f(u)]_{u=f(a)}^{f(b)}
Oder mit dem Leibniz-Kalkuel:

int(f'(g(x))*g'(x) dx, x=a..b) = int(f'(u) du,u=g(a)..g(b)) = [f(u)]_{u=f(a)}^{f(b)}


Beispiel:
int(exp(x^2)*x dx, x=0..2) = 1/2*int(exp(u) du,u=0..4) = [1/2 exp(u)]_0^4.
int(exp(x^2)*x dx, x=-1..1) = 1/2*int(exp(u) du,u=1..1) = 0.

Bei der umgekehrten Anwendung der Substitutionsregel ist wiederum die
Umkehrfunktion erforderlich und ggf muss das Integral zerlegt werden.

int(sqrt(1-x^2) dx,x=-1..1) = /* x = sin(phi), phi=arcsin(phi),
                                 dx=cos(phi)d phi */
int(cos(phi)^2 d phi,x=-pi/2..pi/2) = 
[1/2*(phi+sin(phi)*cos(phi))]_(pi/2)^(pi/2) = pi/2



7.4 Partialbruchzerlegung
-------------------------

Folgendes Beispiel moege die Methode der Partialbruchzerlegung
erlaeutern: Es gelte, eine Stammfunktion zu f(x)=1/(x^2-x-2)
aufzusuchen. Man zerlegt zunaechst den Nenner in Linearfaktoren:
x^2-x-2 = (x+1)(x-2). Sodann macht man den Ansatz

1/((x+1)(x-2)) = A/(x+1) + B/(x-2)

Durchmultiplizieren mit dem Hauptnenner fuehrt auf B(x+1)+A(x-2)=1,
also (Koeffizientenvergleich!): A+B=0, -2A+B=1, also A=-1,
B=1. Demnach ist

int(1/(x^2-x-2) dx) = int(-1/(x+1)+1/(x-2) dx) = -ln(|x+1|) + ln(|x-2|). 

Die beiden Brueche -1/(x+1) und 1/(x+2) heissen *Partialbrueche*.

Dieser Ansatz funktioniert immer, wenn der Nenner vom Grad d auch d
verschiedene reelle Nullstellen hat. Gibt es komplexe Nullstellen, so
muss man Partialbrueche ansetzen, die die entsprechenden quadratischen
Faktoren als Nenner haben (und lineare Terme Ax+B im
Zaehler). Alternativ kann man auch formal mit komplexen Zahlen
rechnen.  Hat man eine Nullstelle a groesserer Vielfachheit, so
muessen Partialbrueche mit Nenner (x-a)^i fuer i von 1 bis zur
Vielfachheit der Nullstelle angesetzt werden.

Beispiel: Es gelte, eine Stammfunktion zu 1/((x-1)^2*(x^2+2x+3)
(Nullstellen des Nenners 1 (doppelt), -1+i sqrt(2), -1-i sqrt(2)

Ansatz. 
1/((x-1)^2*(x^2+2x+3)) = A/(x-1) + B/(x-1)^2 + (Cx+D)/(x^2+2x+3)

1 = A(x-1)(x^2+2x+3) + B(x^2+2x+3) + (Cx+D)(x-1)^2

1 = A(x^3+x^2+x-3) + B(x^2+2x+3) + C(x^3-2x^2+x) + D(x^2-2x+1)

Koeffizientenvergleich: 
A+C=0           /* x^3 */
A+B-2C+D=0      /* x^2 */
A+2B+C-2D=0     /* x   */
-3A+3B+D=1      /* 1   */

Einsetzungs und Additionsverfahren: 
A=-1/9, B=1/6, C=1/9, D=1/6

Die Partialbruchzerlegung: 
1/((x-1)^2*(x^2+2x+3))=-1/(9(x-1)) + 1/(6(x-1)^2) + (2x+3)/(18(x^2+2x+3))

Also:
int(1/((x-1)^2*(x^2+2x+3)) dx) =
 -1/9*ln|x-1| - 1/(6(x-1)) + 1/18*ln|x^2+2x+3| +
  sqrt(2)/36*arctan((x+1)/sqrt(2))



Nebenrechnung: 

int(1/(x^2+2x+3) dx) = int(1/((x+1)^2+2) dx)  /* quadr. Ergaenzung */
= int(1/(y^2+2) dy)  /* y=x+1 */
= int((1/2)/((y/sqrt(2))^2+1) dy)  /* y=x+1 */
= int((1/2)/((y/sqrt(2))^2+1) dy)  /* z=y/sqrt(2) */
= sqrt(2)/2 int(1/(z^2+1) dz)
= 1/sqrt(2) arctan(z) = 1/sqrt(2) arctan((x+1)/sqrt(2))

int(x/(x^2+2x+3) dx) 
= int(1/2 * (2x+2)/(x^2+2x+3) - 1/(x^2+2x+3)  dx) =
= 1/2*int(1/u du) - 1/sqrt(2) arctan((x+1)/sqrt(2))  /* u = x^2+2x+3 */
= 1/2*ln|x^2+2x+3| - 1/sqrt(2) arctan((x+1)/sqrt(2))



Weitere Beispiele

int 1/(1-x^4) dx. Nullstellen des Nenners: 1,-1,i,-i,
also 1-x^4=(x-1)(x+1)(x^2+1)

int 1/(1+x^4) dx. Nullstellen des Nenners: a+ai, a-ai, -a+ai,-a-ai mit
a=1/2*sqrt(2). Also 1+x^4=(x^2+ax+1)(x^2-ax+1).

Das letztere Beispiel ist erstaunlich kompliziert und soll Leibniz
Schwierigkeiten bereitet haben.







7.5 Partielle Integration
-------------------------

Aus der Produktregel des Differenzierens erhaelt man folgende
Rechenregel fuer die Integration, die sog. *partielle Integration*:

u(x)*v(x) = int(u'(x)*v(x) dx) + int(u(x)*v'(x) dx)

oder in nuetzlicherer Form:

int(u'(x)*v(x) dx) = u(x)*v(x) - int(u(x)*v'(x) dx)

Man kann diese Regel verwenden, wenn der Integrand ein Produkt ist,
sodass fuer einen der Faktoren eine Stammfunktion bekannt ist. Leider
wird durch die partielle Integration das Integral nicht komplett
geloest, sondern nur auf ein anderes zurueckgefuehrt, welches
leichter, aber auch schwieriger, sein kann.

Beispiele:

*) int(cos(x)*x dx)  /* u' = cos(x), u = sin(x), v=x, v'=1 */
= sin(x)*x - int(sin(x)*1 dx)
= sin(x)*x + cos(x)

*) int(ln(x) dx)
= int(1*ln(x) dx) /* u' = 1, u = x, v=ln(x), v'=1/x */
= x*ln(x) - int(x/x dx)
= x*ln(x) - x

*) int(arctan(x) dx)
= x*arctan(x) - int(x/(1+x^2) dx)
= x*arctan(x) - 1/2 ln|1+x^2|

*) int(cos(y)^2 dy) = 
= sin(y)*cos(y) + int sin(y)^2 dy

jetzt nicht nochmal so weitermachen, sonst dreht man sich im Kreis.
Stattdessen:

 int(cos(y)^2 dy) = sin(y)cos(y)+int 1-cos(y)^2 dy =
sin(y)cos(y)+x-int cos(y)^2 dy 

Also int(cos(y)^2 dy) = 1/2(x+sin(y)cos(y)) 

*) Man bestimme I_m(x) = int 1/(1+x^2)^m dx.

I_m(x) = int 1/(x^2+1)^m dx =   /* u=1, v=1/(x^2+1)^m */
   x/(x^2+1)^m + 2m * int x^2/(1+x^2)^(m+1) dx = /* Umformung+Kuerzen*/
   x/(x^2+1)^m + 2m * int 1/(1+x^2)^(m+1) - 1/(1+x^2)^m dx =
   x/(x^2+1)^m + 2m * (I_(m+1)(x) - I_m(x))

NR: x^2/(1+x^2)^(m+1) = (1+x^2)/(1+x^2)^(m+1)-1/(1+x^2)^(m+1) =
1/(1+x^2)^m-1/(1+x^2)^(m+1).

Also:

I_(m+1)(x) = 1/(2m) * ((2m-1)I_m(x) + x/(1+x^2)^m)

Mit I_1(x)=arctan(x) kann man so die I_m sukzessive berechnen.

*) Man bestimme J_m(x) = int sin(x)^m dx

J_0(x) = x
J_1(x) = -cos(x)
J_m(x) = -sin(x)^(m-1)*cos(x) + (m-1)*int sin(x)^(m-2)*cos(x)^2 dx =
 = -sin(x)^(m-1)*cos(x) + (m-1)*int sin(x)^(m-2)*(1-sin(x)^2)dx =
 = -sin(x)^(m-1)*cos(x) + (m-1) * (J_(m-2)(x) - J_m(x))

Also J_m(x) = -1/m cos(x)sin^(m-1)(x) + (m-1)/m J_(m-2)(x)


7.6 Uneigentliche Integrale
---------------------------

Der Ausdruck int(f(x) dx,x=a..b) ist bekanntlich nur definiert, wenn f
auf [a,b] definiert ist. Ist also a oder b = +-oo oder ist f an a oder
b nicht definiert, so existiert das Integral "im eigentlichen Sinne"
nicht. Man kann dem Ausdruck aber durch Limesbildung in manchen
Faellen doch einen sinnvollen Wert zuweisen, der dann als
"uneigentliches Integral" bezeichnet wird.

Beispiel:

int(1/x^2 dx, x=1..oo) =
lim int(1/x^2, x=1..z) = 
z->oo
lim [-1/x]_1^z = 1-1/z = 1
z->oo


int(1/sqrt(x) dx, x=0..1) =
lim int(1/sqrt(x), x=z..1) = 
z->0
lim [2*sqrt(x)]_z^1 = 2-2*sqrt(z) = 2
z->0

int(1/sqrt(1-x^2) dx,x=-1..1) =
lim arcsin(1-eps) - arcsin(-1+eps) =  
eps->0
- (- pi/2) + pi/2 = pi

Aehnlich:
int(1/(1+x^2) dx,x=-oo..oo) = pi


Nicht immer koennen bestimmte (insbesondere uneigentliche) Integrale
ueber Stammfunktionen ausgewertet werden.

Beispiel:

Man bestimme int(sin(x)/x dx, x=0..oo)

NB sin(x)/x kann fuer x=0 stetig fortgesetzt werden.

Die Stammfunktion F(x) zu f(x) = sin(x)/x mit F(0)=0 heisst "Sinus
integralis" und wird mit Si(x) bezeichnet. Es gibt keine einfache
Formel fuer Si(x).

Man interessiert sich hier also fuer lim Si(x)
                                     x->oo

Wir beweisen nur, dass der Grenzwert existiert.

fuer x=n*pi ... (n+1)*pi, n gerade, ist sin(x)/x positiv
fuer x=n*pi ... (n+1)*pi, n ungerade, ist sin(x)/x negativ

Also ist lim Si(x) =  sum (-1)^n*int(|sin(x)/x| dx,x=n*pi..(n+1)*pi,n=0..oo)
        x->oo

und die Reihe konvergiert nach dem Leibniz Kriterium fuer
alternierende Reihen.  Man kann zeigen (s. Forster), dass der
Grenzwert gerade pi/2 ist.


Eine interessante Anwendung von uneigentlichen Integralen ist das
folgende Konvergenzkriterium fuer Reihen (Integralkriterium).

Satz: Ist f:[1,oo]->RR^+ eine Funktion, sodass die Folge (a_n)_n mit
a_n=f(n) monoton faellt, so konvergiert sum(a_n, n=1..oo) genau dann,
wenn das uneigentliche Integral int(f(x) dx, x=1..oo) existiert.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus der Abschaetzung
 int(f(x),x=n..n+1)>=a_(n+1).

Beispiel: Die Reihe sum(1/n^s,n=1..oo) konvergiert fuer s>1, denn
int(1/x^s,x=1..oo)=[x^(1-s)/(1-s)]_1^oo = 1/(s-1).



Man kann die im Beweis verwendete Abschaetzung bisweilen auch direkt
einsetzen: aus int(1/x dx)=ln(x) ergibt sich durch
Integralabschaetzung

sum(1/n,n=2..N) <= ln(N) <= sum(1/n,n=1..N-1)

Also 0 <= sum(1/n,n=1..N)-ln(N) <= sum(1/n,n=1..N)-sum(1/n,n=2..N) = 1.

Setzt man gamma_N := sum(1/n,n=1..N)-ln(N), so ist

gamma_{N-1}-gamma_N = [ln(x)]_(x=N-1)^N - 1/N = int(1/x-1/N dx,x=N-1..N) > 0

d.h. die Folge (gamma_N)_N ist beschraenkt und monoton fallend, muss
daher gegen eine Zahl konvergieren. Diese heisst
Euler-Mascheroni-Konstante und wird mit gamma bezeichnet. Es ist gamma
= 0,57721... Man weiss nicht, ob gamma rational, irrational, oder
transzendent ist und ob es sich durch die "anderen Zahlen" wie pi, e,
etc irgendwie ausdruecken laesst.

Anwendung: Sei
S_N = sum(1/n, n=1..N) 
A_N = sum((-1)^(n+1)*1/n, n=1..N) (alternierende harmonische Reihe.)

Es ist S_N = ln(N)-gamma +o(1)
A_(2N) = S_(2N) - S_N = ln(2)+ln(N)-ln(N)+gamma-gamma+o(1)=ln(2)+o(1)

Bsp:

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 =
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6
  - 2/2       - 2/4       - 2/6 =
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6
  -  1        - 1/2       - 1/3  



Also lim A_N = ln(2)


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