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Fourierreihen

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9 Fourierreihen
================

Def (periodische Funktion): Eine auf ganz RR definierte komplex- oder
reellwertige Funktion f heisst periodisch (mit Periode 2*pi), wenn
gilt f(x)=f(x+2*pi) fuer alle x:RR.

Die Funktionen sin(k*x) und cos(k*x) sind fuer jedes k:NN periodisch
(Z.B sin(x), sin(2x), cos(3x), etc).

Periodizitaet kann man in offensichtlicherweise auf andere Perioden
als 2*pi verallgemeinern.

9.1 Trigonometrische Polynome
------------------------------

Sind f,g  periodisch, so auch  f+g und allgemeiner  lambda*f+mu*g fuer
beliebige lambda,mu:CC.  Insbesondere sind also  die sog. trigonometrischen
Polynome periodisch. Diese haben die Form

f(x) = a0/2 + sum(ak*cos(k*x), k=1..n) + sum(bk*sin(k*x), k=1..n)

wobei a0,a1..an,b1..bn Konstanten sind.

Z.B. ist f(x) = 4+cos(2x)+sin(x)-sin(3x)

ein trigonometrisches Polynom (n=3, a_0=8, a_2=1, b_3=-1,
a_1=b_1=b_2=0).

Weiss man, dass eine gegebene Funktion f(x) ein trigonometrisches
Polynom ist, so koennen die Koeffizienten a_k und b_i aus f durch die
folgenden Formeln abgelesen werden.

a_k = 1/pi * int(f(x)*cos(kx) dx, x=0..2*pi)
b_k = 1/pi * int(f(x)*sin(kx) dx, x=0..2*pi)

Dies deshalb, weil
int(cos(kx)*sin(lx) dx, x=0..2*pi) = 0 fuer alle k,l:NN
int(cos(kx)*cos(lx) dx, x=0..2*pi) = 0 fuer alle k=/=l:NN
int(sin(kx)*sin(lx) dx, x=0..2*pi) = 0 fuer alle k=/=l:NN
int(sin(kx)*sin(kx) dx, x=0..2*pi) = int(cos(kx)*cos(kx) dx, x=0..2*pi) = pi fuer alle k>0

NB: int(cos(kx)*cos(kx) dx, x=0..2*pi) = 2*pi fuer k=0.

Man kann ein trigonometrisches Polynom f(x) auch in der kompakten Form

f(x) = sum(ck * exp(i * k * x), k=-n..n)

schreiben, wobei c0 = a0/2 und ck = 1/2(ak - i*bk), c_(-k) = 1/2(ak + i*bk) fuer k>=1.
Man prueft durch Nachrechnen: 
ck * exp(i * k * x) + c_(-k) * exp(i * (-k) * x) = ak*cos(k*x) + bk*sin(k*x).

Z.B.:

4+cos(2x)+sin(x) =   4 + 1/2*exp(2ix)+1/2*exp(-2ix) + 1/2 exp(ix) - 1/2*exp(-ix)

Umgekehrt koennen die ak, bk aus c_k durch a_k = ck + c_(-k) und b_k = i(ck - c_(-k)) 
zurueckgewonnen werden.


Man kann die Koeffizienten c_k ebenso wie die a_k, b_k  durch Integrale berechnen:


         ck = 1/(2pi) *  int(f(x) exp(-i k x) dx, x=0..2 pi)

fuer k = -n .. n. Es handelt sich hierbei um das Integral einer
komplexwertigen Funktion (nach wie vor auf einer Teilmenge der reellen
Zahlen definiert). Ein solches versteht sich Real- und
Imaginaerteil-weise.


9.2 Fourierreihe
-----------------

Sei f : [0,2pi] -> CC stueckweise stetig. Die Zahlen

  ck = 1/(2pi) *  int(f(x) exp(-i k x) dx, x=0..2 pi)

heissen Fourierkoeffizienten von f. Die Zahlen

a_k = 1/pi * int(f(x)*cos(kx) dx, x=0..2*pi)
b_k = 1/pi * int(f(x)*sin(kx) dx, x=0..2*pi)

werden ebenfalls als Fourierkoeffizienten bezeichnet; es ist

 a_k = ck + c_(-k) und b_k = i(ck - c_(-k)).

Die zu f gehoerige Fourierreihe ist gegeben durch

F[f](x) = sum(c_k * exp(i * k * x), k = -oo,...,oo)
        = a0/2 + sum(ak*cos(k*x), k=1..oo) + sum(bk*sin(k*x), k=1..oo)

Die n-te Fourier-Approximation ist gegeben durch

F_n[f](x) = sum(c_k * exp(i * k * x), k = -n,...,n)
        = a0/2 + sum(ak*cos(k*x), k=1..n) + sum(bk*sin(k*x), k=1..n)

Es ist also F[f](x) = lim F_n[f](x)
                      n->oo


Beispiel: Es sei f(x)=(pi-x)/2 auf ]0..2pi[ und f(0)=f(2pi)=0

Wir haben

c0 = 1/2pi int(f(x) dx,x=0..2pi) = 0

ck = 1/(4pi) *  int((pi-x) * exp(-i k x) dx, x=0..2 pi) /* part. Integration */
   = 1/(4pi) * ([1/(-ik) (pi-x) exp(-ikx)]^2pi_0 - 1/(-ik) int((-1)*exp(-ikx) dx,x=0..2pi))
   = 1/(4pi) * ([1/ik (x-pi) exp(-ikx)]^2pi_0 - 1/(ik) int(exp(-ikx) dx,x=0..2pi))
   = 1/(4pi) * (2pi/(ik)) = -i/(2k).
ak = ck + c_(-k) = 0
b_k = 1/k

Die Fourierreihe ist also F[f](x) = sum(sin(kx)/k, k=1..oo)

Es ist interessant, die ersten Fourierapproximationen, also
z.B. F_0[f]..F_10[f] mit einer geeigneten Software graphisch
darzustellen. Es handelt sich offensichtlich um periodische
Funktionen, die die durch f gegebene Funktion im Bereich 0..2pi
annaehern und ausserhalb periodisch fortsetzen.

Fuer das Naeherungsverhalten gilt folgender Satz:

Satz: Sei f:[0,2pi]->CC stueckweise stetig und F_n[f](x) die 
Folge der Fourierapproximationen von f. Dann gilt

lim    int(|f(x) - F_n[f]|^2 dx, x=0..2pi) = 0
n->oo

Man zeigt den Satz zunaechst fuer den Fall, dass f stueckweise
konstant ist und waehlt dann fuer vorgegebene Fehlerschranke epsilon
eine passende stueckweise konstante Naeherung. Die Details stehen im
Buch.

Im allgemeinen ist die Konvergenz aber nicht einmal punktweise und
zwar unterscheidet sich F_n[f](x) von f(x) an den Unstetigkeitsstellen
von f durch immer hoeher aber auch schmaeler werdende aufgesetzte
Tuermchen ("Gibbs-sches Phaenomen"). Man kann diese Tuerme oder Nadeln
auch im Oszilloskop betrachten, da dieses (bzw die Signalquelle) wegen
des beschraenkten Frequenzbereiches letztendlich nur eine entsprechend
hohe Fourierapproximation zur Anzeige bringt.

Andererseits gilt aber:

Satz: Ist f:[0,2pi]->CC stetig und stueckweise stetig differenzierbar
und gilt f(0)=f(2pi), dann konvergiert die Fourierreihe von f sogar
gleichmaessig gegen f.

Ein Beispiel einer Funktion, die die Bedingungen erfuellt, waere f(x)=(x-pi)^2.


9.3 Fouriertransformation
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Den Uebergang von einer periodischen, bzw nur auf [0,2pi] definierten
Funktion f zu ihren Fourierkoeffizienten ck bezeichnet man als
Fouriertransformation. Der Uebergang von einer Koeffizientenfolge ck
zur entsprechenden Fourierreihe heisst dann "inverse
Fouriertransformation". Im Falle einer stetigen, stueckweise
differenzierbaren Funktion ist die Fouriertransformation tatsaechlich
umkehrbar.

Die Fourierkoeffizienten koennen als Frequenzanteile gedeutet werden
(s.o.): c0 gibt den konstanten Anteil, c1,c-1 geben die Anteile der
Grundfrequenz, c2,c-2 die Anteile der ersten Oberschwingung (doppelte
Frequenz, Oktave), c3,c-3 die Anteile der zweiten Oberschwingung
(dreifache Frequenz, Quinte), etc.

Die obigen Saetze besagen also, dass sich jede periodische Schwingung
als Ueberlagerung von Sinus- und Cosinusschwingungen darstellen
laesst, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind.

In den Anwendungen ist die zu transformierende Funktion oft nur durch
Stuetzstellen (Samples) gegeben. Man naehert dann die Integrale in der
Definition der Fourierkoeffizienten durch Summen an:

Definition: Seien x_0..x_(N-1) komplexe Zahlen. Die diskrete
Fouriertransformation (DFT) dieser Zahlen ist definiert durch die
Zahlen X_k

X_k = sum_{j=0}^{N-1} x_j * exp(- 2*pi/N * i * j * k)

Bemerkung: Es ist X_{k+tN} = X_k fuer t:ZZ, deshalb betrachtet man die
X_k nur fuer k=0..N-1.

Sind umgekehrt X_0..X_(N-1) gegeben, so koennen die x_j nach folgender 
Formel ("inverse DFT") zurueckgewonnen werden.

x_j = 1/N * sum_{k=0}^{N-1} X_j * exp(2*pi/N * i * j * k)

Bemerkung: Ist f:[0..2pi]->CC eine Treppenfunktion mit aequidistanten 
Abschnitten, also

         f(x) = x_j, falls x:[j*2pi/N,..,(j+1)*2pi/N[

so koennen die Fourierkoeffizienten aus der diskreten Fouriertransformation 
leicht berechnet werden:

Fuer k=0..N-1 ist

         c_k = X_k * 1/2pi * (i/k) * (exp(-i*2*pi/N*k) - 1)
                 \-------------------V-------------------/
                            unabhaengig von f

Die DFT hat viele wichtige Anwendungen in der Signalverarbeitung und
kann sehr effizient durch ein Divide-and Conquer Verfahren berechnet
werden: *Schnelle Fouriertransformation* (FFT).

Und zwar kann man die DFT eines Vektors der Laenge N berechnen, indem
man zunaechst rekursiv die DFT der Eintraege an den geraden und den
ungeraden Positionen ausrechnet (jeweils Vektoren der Laenge N/2) und
die Ergebnisse dann nach einem bestimmten Schema zur gesuchten DFT des
Vektors der Laenge N zusammensetzen.

Man nutzt dabei aus, dass die Koeffizienten exp(- 2*pi/N * i * j * k)
in der Form w_N^(-jk) geschrieben werden koennen, wobei w_N eine
primitive N-te Einheitswurzel ist, und dass gilt

 w_N^(-2jk) = w_(N/2)^(-jk)           w_N^(-(2j+1)k) = w_N^(-k)*w_(N/2)^(-jk)

wobei N als gerade, oder besser gleich als Zweierpotenz vorausgesetzt sei.

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