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Exponentialfunktion und Logarithmus

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3. Exponentialfunktion und Logarithmus
======================================

Die Exponentialfunktion exp(x)=e^x ist streng monoton steigend und
ueberall >0.  Die Logarithmusfunktion ln(x) ist ihre Umkehrfunktion
und ebenfalls streng monoton steigend, aber nur fuer positive Zahlen
definiert.

NB: Wir setzen hier voraus, dass die e-Funktion exp(x)=e^x aus der
Schule bekannt ist. Moechte man sie rigoros definieren, so bietet sich
die bereits erwaehnte Exponentialreihe an:
exp(x):=sum(x^n/n!,n=0..oo).


3.1 Potenz- und Logarithmusgesetze
----------------------------------

Es gelten die folgenden Potenzgesetze

a^(u+v) = a^u*a^v
a^(u-v) = a^u/a^v
a^(uv)  = (a^u)^v
a^(u/v) = a^u^{1/v}
a^0 = 1

Zur Erinnerung:

a^n = a*...*a (n Faktoren), wenn n:NN
a^(-n) = 1 / a^n
a^{p/q} = q-te Wurzel aus a^p 

Aus den Potenzgesetzen ergeben sich die Rechenregeln fuer Logarithmen:

ln(xy) = ln(x)+ln(y)
ln(x/y) = ln(x)-ln(y)
ln(x^y) = y*ln(x)
ln(1) = 0

Ausserdem gilt:
a^u = exp(ln(a^u)) = exp(u*ln(a)).
Formal nimmt man dies als *Definition* der allgemeinen Potenz. 

Es gibt auch Logarithmen zu anderen Basen als e:

log_a ist die Umkehrfunktion zu a^x und es gilt: log_a(x) = ln(x) / ln(a). 



3.2 Grenzwerte mit exp und ln
-----------------------------

lim  exp(x)/x^n = oo 
x->oo

Die Exponentialfunktion waechst mit x->oo staerker als jede Potenz.

Anschaulicher Beweis:

exp(x) = sum(1/k!*x^k,k=0..oo) >= 1/(n+1)! x^(n+1), aber

lim 1/(n+1)!*x^(n+1)/x^n = oo
x->oo


lim  ln(x)/x^n = 0
x->oo

Der Logarithmus waechst langsamer als jede Potenz.

Anschaulicher Beweis:

lim  ln(x)/x^n = lim ln(exp(y))/exp(y)^n = lim y/exp(ny) = 0
x->oo            y->oo                     y->oo


Bemerkung: das gilt auch fuer n ersetzt durch irgendein alpha>0,
z.B. alpha=1/2.

lim  (exp(x)-1) / x = 1
x->0

Beweis benutzt die Exponentialreihe. 


lim   x*ln(x) = lim exp(-y)*ln(exp(-y)) = - lim y/exp(y) = 0
x->0+           y->oo                       y->oo

3.3  Die Landau-Symbole
----------------------

Man schreibt auch exp(x) = 1+x+O(x^2) fuer x->0 wobei O(x^2) eine
Funktion bezeichnet, die höchstens so stark waechst (hier fuer x->0)
wie ein festes Vielfaches von x^2. Das *Landau-Symbol* O(f(x))
bezeichnet, bzgl eines bestimmten Grenzuebergangs x->a, eine beliebige
Funktion g mit |g(x)| <=c*|f(x)| fuer ein festes c>0 und x->a.

Man schreibt auch ln(x) = o(x^n) fuer x->oo zum Zeichen, dass ln(x)
schwaecher waechst als jede Potenz von x. Das *Landau-Symbol* o(f(x))
bezeichnet, bzgl eines bestimmten Grenzuebergangs x->a, eine beliebige
Funktion g mit |g(x)| <=c*|f(x)| fuer alle c>0 und x->a.

Mit den Landau-Symbolen lassen sich Rechnungen mit Grenzwerten
bisweilen vereinfachen.


Z.B. lim (exp(x)-1)/x = lim (1+x+O(x^2)-1)/x = 
    x->0
                  = 1 + lim O(x^2)/x = 1 

lim    ln(x)/x =  lim o(x)/x = 0
x->oo            x->oo  

Die Landau Symbole verstehen sich immer bezueglich eines bestimmten
Grenzuebergangs. So ist, wie erwaehnt, exp(x)=1+x+O(x^2) fuer x->0,
aber natuerlich nicht fuer x->oo. Anderes Beispiel: ln(x) = O(x-1)
fuer x->1 aber nicht fuer x->0, denn lim ln(x)=-oo
                                     x->0

Das Gleichheitszeichen bei der O-Notation ist auch eher eine
Elementbeziehung, als eine echte Gleichheit, insbesondere nicht
transitiv: x+1=O(x), x=O(x), aber natuerlich nicht x+1=x.
 

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