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Analysis-WS16-11

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8 Konvergenz von Funktionenfolgen
=================================

8.1 Gleichmaessige und punktweise Konvergenz
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Fuer Funktionenfolgen (f_n)_n, wo also fuer jedes n:NN eine Funktion
f_n gegeben ist, der Einfachheit alle mit demselben Definitions- und
Wertebereich, gibt es mehrere Moeglichkeiten, eine Grenzfunktion zu definieren.

Definition: Eine Funktionenfolge (f_n)_n, f_n:D->W konvergiert
punktweise gegen eine Funktion f, wenn lim f_n(x) = f(x) fuer alle x:D
gilt.                                 n->oo

Die Funktionenfolge konvergiert gleichmaessig gegen f, wenn zu jedem
epsilon>0 ein N:NN existiert, sodass |f(x)-f_n(x)|<epsilon fuer alle x:D
und n>=N.

Man beachte, dass die punktweise Konvergenz gleichbedeutend dazu ist,
dass zu jedem x:D und epsilon<0 ein N:NN existiert, sodass
|f(x)-f_n(x)|<epsilon fuer alle x:D und n>=N.

Daran sieht man sofort, dass die gleichmaessige Konvergenz staerker
ist als die punktweise und dass bei der punktweisen Konvergenz die
Mindestzahl N von x und epsilon abhaengt, waehrend sie bei der
gleichmaessigen Konvergenz nur von epsilon abhaengen darf.

Hier ist ein konkretes Gegenbeispiel, welches demonstriert, dass die
beiden Begriffe sich echt unterscheiden.

Wir definieren f_n:[0,1]->RR durch f_n(x) := max(n-n^2*|x-1/n|,0).

Es gilt lim f_n(x) = 0, also konvergiert die Funktionenfolge
        punktweise n->oo gegen die Nullfunktion. Die Konvergenz ist
        aber nicht gleichmaessig, denn sonst gaebe es im Falle
        epsilon=1/2 ein festes N, sodass

n-n^2*|x-1/n| <= 1/2

fuer alle x und n>=N. Fuer x=1/N ist das aber falsch.

Der Graph der Funktion f_n beginnt mit einem gleichschenkligen Dreieck
der Hoehe n und der Breite 2/n und ist anschliessend konstant 0.

Der Begriff der gleichmaessigen Konvergenz ist fuer die Anwendungen
guenstiger, als der der punktweisen:

Satz: Konvergiert (f_n)_n : D->W gleichmaessig gegen f und sind die
f_n stetig, so ist auch f stetig.

Fuer punktweise Konvergenz muss das nicht gelten, so konvergiert die Folge

f_n(x) = 2/pi * arctan(n*x)

punktweise gegen die (unstetige) Signumfunktion sgn(x)=if x=/=0 then
x/|x| else 0.

8.2 Potenzreihen
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Beispiele von gleichmaessig konvergenten Funktionenfolgen werden durch
Potenzreihen geliefert:

Satz: Sei (c_k)_k eine komplexe Folge, also c_k:CC. Konvergiert die
Reihe sum(c_k*x^k,k=0..oo) fuer ein z1:CC mit z1=/=0 und 0<=r<|z1|
eine beliebige reelle Zahl. Die Funktionenfolge
f_n(x)=sum(c_k*x^k,k=0..n) konvergiert auf dem Kreis K_r := {z:CC |
|z|<=r} gleichmaessig und absolut gegen eine (stetige) Funktion f(z) =
sum(c_k*x^k,k=0..oo)

Der Beweis basiert auf dem Majorantenkriterium mit der geometrischen
Reihe M*sum(theta^k,k=0..oo) wobei M>=c_k*z1^k fuer alle k:NN
(existiert wg Konvergenz der Reihe mit z1) und theta:=r/|z1| < 1.

Beispiele konvergenter Potenzreihen:

*) f(x) = sum(x^k,k=0..oo). Konvergiert fuer alle x mit |x|<1 und
 gleichmaessig auf jedem Kreis K_r mit r<1. Bekanntlich ist dort
 f(x)=1/(1-x).

*) f(x) = sum(1/k!*x^k,k=0..oo). Konvergiert fuer alle x:RR und
 gleichmaessig auf jedem Kreis K_r mit r:RR. Bekanntlich ist
 f(x)=exp(x).

*) f(x) = sum(1/k*x^k,k=1..oo). Konvergiert fuer alle x mit |x|<1 und
 gleichmaessig auf jedem Kreis K_r mit r<1. Es ist dort f(x)=-ln(1-x).

Bemerkung: Man kann in einer Potenzreihe auch x durch x-a fuer ein
festes a ersetzen. Zum Beispiel ist

exp(x-a) = sum(1/k!*(x-a)^k,k=0..oo) und (etwas eleganter)
ln(x) = -(-ln(1-(1-x))) = sum((-1)^(k+1)/k*(x-1)^k,k=1..oo)





8.3 Vertauschen von Summation mit Grenzwerten
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Satz (Limesbildung und Integration): Sei (f_n)_n eine (auf einem
Bereich D) gleichmaessig konvergente Funktionenfolge mit Grenzwert
f. Es ist dann

int(f(x) dx, x=a..b) = lim int(f_n(x) dx,x=a..b)
                       n->oo

Bei gleichmaessiger Konvergenz kann man also Integration und
Limesbildung vertauschen.

Bei nur punktweiser Konvergenz kann es passieren, dass die
Vertauschbarkeit nicht gegeben ist.

Gegenbeispiel: Fuer die obigen Funktionen f_n gilt int(f_n(x),x=0..1)=1...

Anwendungsbeispiel: 1/(1-x) = sum(x^k,k=0..oo) und die Konvergenz ist
gleichmaessig auf jedem K_r fuer r<1. Also gilt auch

ln(1/(1-x)) = int(1/(1-t) dt,t=0..x) = sum(1/(k+1)*x^(k+1),k=0..oo) =
sum(1/k*x^k,k=1..oo)

denn int(t^k dt,t=0..x) = 1/(k+1)*x^(k+1)

Satz: Die Folge (f_k)_k konvergiere punktweise gegen f, die f_k seien
stetig differenzierbar und die Folge der Ableitungen (f'_k)
konvergiere gleichmaessig. Dann ist f differenzierbar und f'(x) = lim
f_k'(x).  n->oo

Damit man also den Ableitungsoperator unter den Limes ziehen kann,
muss sichergestellt sein, dass der so entstehende Grenzwert existiert
und zwar gleichmaessig.

Folgendes Beispiel verdeutlicht die Bedingungen. Es sei
f_n(x)=1/n*sin(nx), f_n:RR->RR, n>=1. Die Folge konvergiert sogar
gleichmaessig gegen 0. Andererseits ist f'_n(x)=cos(nx) und diese
Folge konvergiert nicht, geschweige denn gegen 0.

Bei Potenzreihen sind die Bedingungen des Satzes immer gegeben, wenn
die Reihe ueberhaupt konvergiert, d.h. konvergente Potenzreihen
duerfen gliedweise differenziert werden.

Beispiel:

sum(x^k,k=0..oo) = 1/(1-x), also
sum(k*x^(k-1),k=1..oo) = 1/(1-x)^2


8.3 Taylorreihen
----------------

Wenn eine Funktion ueberhaupt durch eine Potenzreihe dargestellt
werden kann, so kann man diese mithilfe der Taylorschen Formel auch
explizit angeben.

Satz: Sei I ein Intervall mit 0:I und f auf I n+1-mal stetig
differenzierbar. Dann ist fuer alle x:I:

f(x) = f(0) + f'(0)*x + f''(0)/2*x^2 + f'''(0)/6*x^3 + ... + f^(n)(0)/n! + 
        R_n(f,x)

wobei R_n(x) = 1/n!*int((x-t)^n*f^(n+1)(t) dt, t=0..x) und f^(n) die
n-fache Ableitung von f bezeichnet.

Der Beweis des Satzes erfolgt durch vollstaendige Induktion. Wenn n=0,
so lautet die Aussage des Satzes

f(x) = f(0) + int(f'(t) dt, t=0..x)

das ist aber gerade der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.

Fuer den Induktionsschritt rechnen wir das sog. *Restglied* wie folgt um:

R_n(f,x) = 1/n! * int((x-t)^n * f^(n+1)(t) dt,t=0..x) = /* partielle Integration */
= 1/(n+1)! * [-(x-t)^(n+1)*f^(n+1)(t)]_0^x - 1/(n+1)!*int(-(x-t)^(n+1)*f^(n+2)(t) dt,t=0..x) =
x^(n+1)/(n+1)! * f^(n+1)(0) + R_(n+1)(f,x)

Daraus ergibt sich der Induktionsschritt unmittelbar.


Satz (Lagrangesche Form des Restgliedes): Sei f:I->R eine n+1-mal
stetig differenzierbare Funktion. Fuer das Restglied R_n(f,x) gilt:

                   R_n(f,x) = f^(n+1)(xi)/(n+1)!*x^(n+1) 

wobei xi ein bestimmter (in der Regel unbekannter) Wert zwischen 0 und
x ist.

Beweis: Es ist R_n(f,x) = 1/n! * int((x-t)^n * f^(n+1)(t)
dt,t=0..x). Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es also
xi:[0,x] mit R_n(f,x) = 1/n! * f^(n+1)(xi)*int((x-t)^n dt,0..x). Die
Behauptung folgt.

Ist f beliebig oft differenzierbar, so kann man die zu f gehoerige
*Taylorreihe*, eine Potenzreihe, bilden:

sum(f^(k)(0)/k!*x^k,k=0..oo)

Wenn diese Reihe konvergiert, so muss sie nicht unbedingt gegen f(x)
konvergieren, aber wenn f in einem Intervall I mit 0:I
ueberhaupt als Potenzreihe darstellbar
ist, dann stimmt diese Reihe mit der Taylorreihe ueberein. 
Ausserdem konvergiert die Taylorreihe genau dann gegen f(x), wenn
das Restglied fuer k->oo gegen Null geht, also

lim R_k(f,x) = 0
k->oo

Ein Beispiel einer im Punkt x=0 unendlich oft differenzierbaren
Funktion, die degnnoch nicht mit ihrer Taylorreihe uebereinstimmt, ist
durch f(x)=exp(-1/x^2), stetig fortgesetzt durch f(0)=0, gegeben.

Durch vollstaendige Induktion beweist man leicht, dass fuer x=/=0

f^(n)(x) = f(x) * P_n(1/x)

wobei P_n ein Polynom vom Grad 3n ist:

f'(x) = 2 x^(-3) f(x)

f^(n+1)(x) = 2 x^(-3) f(x) P_n(1/x) - f(x) * x^(-2)* P'_n(1/x) 
      = f(x) * (2x^(-3) P_n(x) - x^(-2) * P'_n(1/x))
                \____________/   \_________________/
		  Grad 3n+3          Grad 3n+1

Also ist lim f^(n)(x) = 0
         x->0


Beispiel: f(x) = sqrt(1+x).

Es ist f^(n)(x) = 1/2*(-3/2)*(-5/2)*...*(-(2n-1)/2)*(1+x)^(1/2-n) =
2^(-n) * (-1)^(n+1) * (1*3*5*...*(2n-1)) * (1+x)^(1/2-n).

Also f^(n)(0) = a_n, wobei a_n = 2^(-n) *  (-1)^(n+1) * (2n-1)! / (2^n * (n-1)!) = 2^(-2n) * (-1)^(n+1) * (2n-1)! / (n-1)!

Das Restglied hat die Form 

         R_n(x) = a_(n+1) * (1+xi)^(1/2-n-1) / (n+1)! * x^(n+1) =
	  a_(n+1)/(n+1)! * sqrt(1+xi) * (x/(1+xi))^(n+1) 	 

wobei xi : [0..x]

Wir behaupten, dass das Restglied fuer alle x mit |x|<1 gegen Null geht.

In der Tat ist a_n = 2^(-n) * (-1)^(n+1) * (1*3*5*...*(2n-1)) <=
2^(-n) * (-1)^(n+1) * (2*4*6*...*2n) =
(-1)^(n+1) * n!

Also ist a_n/n! beschraenkt und (x/(1+xi))^n 	 geht fuer n->oo gegen Null.

Es folgt fuer alle x mit |x|<1

sqrt(1+x) = sum(a_n/n! * x^n, n=0..oo)

wobei a_0=f(0)=1.

Man kann zeigen, dass das auch fuer komplexe Zahlen z mit |z|<1 gilt.

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