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Analysis-WS16-09

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7.2 Integration und Differentiation
-----------------------------------

Satz:

Sei I ein Intervall (moeglicherweise offen,
moeglicherweise mit Grenzen -oo, oo) und f:D->W stetig.

Fuer jedes a:I ist die Funktion F:I->W definiert durch

F(x) = int(f(t) dt,t=a..x)

auf ganz I stetig differenzierbar  und es ist F'(x)=f(x).

Beweisskizze: F(x+h)-F(x) = int(f(t) dt,t=x..x+h) = h*f(xi) fuer ein
xi:[x..x+h] /*Mittelwertsatz der Integralrechnung*/. Es folgt

F'(x) = lim (F(x+h)-F(x))/h = f(x). 
        h->0


Definition: Sei f stetig. Eine Funktion F mit F'=f heisst
*Stammfunktion* von f.

Man kann den Begriff der Stammfunktion auf stueckweise stetige
Funktionen f erweitern. Hier muss dann die Stammfunktion stetig und
ueberall ausser an den Sprungstellen von differenzierbar sein und ihre
Ableitung muss dort mit f uebereinstimmen.

Beispiel: Die Betragsfunktion ist in diesem Sinne Stammfunktion der
Signumfunktion.

Wir bemerken auch, dass F(x) wie oben immer stetig ist, selbst wenn f
nur stueckweise stetig ist.

Aus obigem Satz folgt unmittelbar der Fundamentalsatz der Differential-
und Integralrechnung:

Ist F Stammfunktion von f, so ist int(f(x) dx,x=a..b) = F(b)-F(a)

Begruendung: Zwei Stammfunktionen koennen sich nur um eine Konstante
unterscheiden, die sich bei der Differenz weghebt. Die Funktion
int(f(t) dt,t=a..x) selbst ist aber auch eine Stammfunktion.

Man fuehrt fuer die Differenz F(b)-F(a) die Notation [F(x)]_a^b ein.

Dieser Fundamentalsatz erlaubt die sehr komfortable Auswertung von
Integralen:

Beispiele:

Aus d/dx x^s = s*x^{s-1} ergibt sich, dass 1/(s+1)*x^(s+1)
Stammfunktion zu x^s ist. Also folgt

    int(x^s dx, x=a..b) = [1/(s+1) x^(s+1)]_a^b

Man schreibt fuer eine Stammfunktion von f abkuerzend

int(f(x) dx)

und bezeichnet das als "unbestimmtes Integral" im Gegensatz zu den
vorher eingefuehrten "bestimmten Integralen" mit expliziten
Integrationsgrenzen.

Zum Beispiel ist: 

int(x dx) = 1/2 * x^2

Die Notation ist aber mit etwas Vorsicht zu verwenden, denn 1/2*x^2 +
1 ist ja auch eine Stammfunktion.

Man sieht daher auch die Notation

int(f(x) dx) = F(x) + C

wobei C eine beliebige Konstante repraesentieren soll.

Aus den bisher gefundenen Ableitungen ergeben sich folgende weitere
Stammfunktionen.

int(sin(x) dx) = -cos(x)
int(cos(x) dx) = sin(x)
int(exp(x) dx) = exp(x)
int(1/x dx) = ln(x), falls x>0
int(1/x dx) = ln(-x), falls x<0
daher insgesamt: int(1/x dx) = ln(|x|).
int(1/(1+x^2) dx) = arctan(x)
int(1/sqrt(1-x^2) dx) = arcsin(x)

Wir halten noch fest, dass die Integration eine lineare Operation ist:

int(f(x)+g(x) dx) = int(f(x) dx) + int(g(x) dx)
int(lambda*f(x) dx) = lambda * int(f(x) dx)

7.3 Substitutionsregel
----------------------

Die Kettenregel lautet bekanntlich: Ist f(x)=h(g(x)), so ist
f'(x)=h'(g(x))*g'(x)

Dementsprechend ist h(g(x)) eine Stammfunktion zu h'(g(x))*g'(x):

int(h'(g(x))*g'(x) dx) = h(g(x))

Das ist die *Substitutionsregel*.

Die Schwierigkeit liegt darin, dass der *Integrand* dieses ganz
bestimmte Format h'(g(x))*g'(x) fuer geeignete Funktionen g,h haben
muss, damit die Regel anwendbar ist.

Beispiele: 

int(exp(lambda*x) dx) = 1/lambda int(exp(lambda*x)*lambda dx) =
                                             1/lambda exp(lambda*x) 
int(exp(x^2)*x dx) = 1/2 * int(exp(x^2)*2x dx) = 1/2 exp(x^2)

Manchmal ist als Merkhilfe folgende symbolische Rechnung nuetzlich:

Nachdem g'(x) = dg(x)/dx hat man *formal* auch g'(x) dx = dg(x), also

int(h(g(x))*dg(x), x=a..b) = int(h(u) du, u=g(a)..g(b))

und ebenso

int(h(g(x))*dg(x)) = int(h(u) du)

Hiermit kann man wie folgt rechnen:

int(exp(x^2)*x dx) = 1/2*int(exp(u) du) = 1/2 exp(u) = 1/2 exp(x^2)

NR: Setze u:=x^2, also du/dx = 2x, also du = 2x dx, also x dx = 1/2 du. 

Weitere Beispiele:

int(tan(x) dx) = int(sin(x)/cos(x) dx) = - int(1/u du) = - ln(|u|) = -ln(|cos(x)|).

NR: u=cos(x), also du = -sin(x) dx. 


Manchmal muss man die Substitutionsregel auch in umgekehrter Richtung
anwenden:

Sucht man eine Stammfunktion zu f und besitzt g eine Umkehrfunktion
(ggf eingeschraenkt auf ein passendes Intervall) und ist

h(y) = int f(g(y))*g'(y) dy 

so gilt fuer die Stammfunktion F(x) = int f(x) dx, dass

F(g(y)) = h(y),

also F(x) = h(g^(-1)(x)).

Beispiel: Gesucht ist eine Stammfunktion zu f(x)=sqrt(1-x^2)
(definiert auf [-1,1]).

Wir waehlen g(y)=sin(y) auf [-pi/2,pi/2] mit Umkehrfunktion
arcsin:[-1,1]->[-pi/2,pi/2]

Es ist int f(g(y)) g'(y) dy = int sqrt(1-sin(y)^2) * cos(y) dy =
int |cos(y)|*cos(y) dy = int cos(y)^2 dy = 1/2*(y+sin(y)*cos(y))
/*Durch Raten*/.

Also ist int sqrt(1-x^2)dx = 1/2*(arcsin(x)+x*sqrt(1-x^2))

Insbesondere ist int(sqrt(1-x^2) dx,-1..1) = arcsin(1) = pi/2 (Flaeche
des halben Einheitskreises).

Auch diese Version der Substitutionsregel kann durch die formale
Rechnung mit dx,du anschaulich gemerkt werden:

int sqrt(1-x^2) dx = ... 

Substitution x=sin(y), dx/dy = cos(y), also dx = cos(y)dy

... = int sqrt(1-sin(y)^2) cos(y) dy =
int cos(y)^2 dy = ...


Man kann die Substitutionsregel auch fuer Integrale mit
Integrationsgrenzen verwenden ("bestimmte Integrale"), wenn man die
Grenzen entsprechend mitsubstituiert. Das geht aber nur, wenn die
substituierte Funktion umkehrbar ist. Ggf muss man also das Integral
zerlegen:

int(exp(x^2)*x dx, x=0..2) = 1/2*int(exp(u) du,u=0..4) = [1/2 exp(u)]_0^4.

int(exp(x^2)*x dx, x=0..2) = 1/2*int(exp(u) du,u=0..4) = [1/2 exp(u)]_0^4.

int(exp(x^2)*x dx, x=-1..1) =
int(exp(x^2)*x dx, x=-1..0) + int(exp(x^2)*x dx, x=0..1)  =
[1/2 exp(u)]_1^0 + [1/2 exp(u)]_0^1 = 0

int(sqrt(1-x^2) dx,x=-1..1) = int(cos^2(y) dy,y=-pi/2..pi/2) =
[1/2*(y+sin(y)*cos(y))]_(pi/2)^(pi/2) = pi/2



7.4 Partialbruchzerlegung
-------------------------

Folgendes Beispiel moege die Methode der Partialbruchzerlegung
erlaeutern: Es gelte, eine Stammfunktion zu f(x)=1/(x^2-x-2)
aufzusuchen. Man zerlegt zunaechst den Nenner in Linearfaktoren:
x^2-x-2 = (x+1)(x-2). Sodann macht man den Ansatz

1/((x+1)(x-2)) = A/(x+1) + B/(x-2)

Durchmultiplizieren mit dem Hauptnenner fuehrt auf B(x+1)+A(x-2)=1,
also (Koeffizientenvergleich!): A+B=0, -2A+B=1, also A=-1,
B=1. Demnach ist

int(1/(x^2-x-2) dx) = int(-1/(x+1)+1/(x-2) dx) = -ln(|x+1|) + ln(|x-2|). 

Die beiden Brueche -1/(x+1) und 1/(x+2) heissen *Partialbrueche*.

Dieser Ansatz funktioniert immer, wenn der Nenner vom Grad d auch d
verschiedene reelle Nullstellen hat. Gibt es komplexe Nullstellen, so
muss man Partialbrueche ansetzen, die die entsprechenden quadratischen
Faktoren als Nenner haben (und lineare Terme Ax+B im Zaehler).  Hat
man Nullstellen groesserer Vielfachheit, so muessen Partialbrueche mit
Nennern (x-a), (x-a)^2, (x-a)^3... bis hin zur entsprechenden
Vielfachheit angesetzt werden.

Beispiel: Es gelte, eine Stammfunktion zu 1/((x-1)^2*(x^2+2x+3)
(Nullstellen des Nenners 1 (doppelt), -1+sqrt(2)i, -1-sqrt(2)i)

Ansatz. 
1/((x-1)^2*(x^2+2x+3)) = A/(x-1) + B/(x-1)^2 + (Cx+D)/(x^2+2x+3)

1 = A(x-1)(x^2+2x+3) + B(x^2+2x+3) + (Cx+D)(x-1)^2

1 = A(x^3+x^2+x-3) + B(x^2+2x+3) + C(x^3-2x^2+x) + D(x^2-2x+1)

Koeffizientenvergleich: 
A+C=0           /* x^3 */
A+B-2C+D=0      /* x^2 */
A+2B+C-2D=0     /* x   */
-3A+3B+D=1      /* 1   */

Einsetzungs und Additionsverfahren: 
A=-1/9, B=1/6, C=1/9, D=1/6

Die Partialbruchzerlegung: 
1/((x-1)^2*(x^2+2x+3))=-1/(9(x-1)) + 1/(6(x-1)^2) + (2x+3)/(18(x^2+2x+3))

Also:
int(1/((x-1)^2*(x^2+2x+3)) dx) =
 -1/9*ln|x-1| - 1/(6(x-1)) + 1/18*ln|x^2+2x+3| +
  sqrt(2)/36*arctan((x+1)/sqrt(2))



Nebenrechnung: 

int(1/(x^2+2x+3) dx) = int(1/((x+1)^2+2) dx)  /* quadr. Ergaenzung */
= int(1/(y^2+2) dy)  /* y=x+1 */
= int((1/2)/((y/sqrt(2))^2+1) dy)  /* y=x+1 */
= int((1/2)/((y/sqrt(2))^2+1) dy)  /* z=y/sqrt(2) */
= sqrt(2)/2 int(1/(z^2+1) dz)
= 1/sqrt(2) arctan(z) = 1/sqrt(2) arctan((x+1)/sqrt(2))

int(x/(x^2+2x+3) dx) 
= int(1/2 * (2x+2)/(x^2+2x+3) - 1/(x^2+2x+3)  dx) =
= 1/2*int(1/u du) - 1/sqrt(2) arctan((x+1)/sqrt(2))  /* u = x^2+2x+3 */
= 1/2*ln|x^2+2x+3| - 1/sqrt(2) arctan((x+1)/sqrt(2))


Weitere Beispiele

int 1/(1-x^4) dx. Nullstellen des Nenners: 1,-1,i,-i,
also 1-x^4=(x-1)(x+1)(x^2+1)

int 1/(1+x^4) dx. Nullstellen des Nenners: a+ai, a-ai, -a+ai,-a-ai mit
a=1/2*sqrt(2). Also 1+x^4=(x^2+ax+1)(x^2-ax+1).

Das letztere Beispiel ist erstaunlich kompliziert und soll Leibniz
Schwierigkeiten bereitet haben.



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