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Beispiel zur Partialbruchzerlegung

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Beispiel: Es gelte, eine Stammfunktion zu 1/((x-1)^2*(x^2+2x+3)
(Nullstellen des Nenners 1 (doppelt), i-1,-i-1

Ansatz. 
1/((x-1)^2*(x^2+2x+3)) = A/(x-1) + B/(x-1)^2 + (Cx+D)/(x^2+2x+3)

1 = A(x-1)(x^2+2x+3) + B(x^2+2x+3) + (Cx+D)(x-1)^2

1 = A(x^3+x^2+x-3) + B(x^2+2x+3) + C(x^3-2x^2+x) + D(x^2-2x+1)

Koeffizientenvergleich: 
A+C=0           /* x^3 */
A+B-2C+D=0      /* x^2 */
A+2B+C-2D=0     /* x   */
-3A+3B+D=1      /* 1   */

Einsetzungs und Additionsverfahren: 
A=-1/9, B=1/6, C=1/9, D=1/6

Die Partialbruchzerlegung: 
1/((x-1)^2*(x^2+2x+3))=-1/(9(x-1)) + 1/(6(x-1)^2) + (2x+3)/(18(x^2+2x+3))

Also:
int(1/((x-1)^2*(x^2+2x+3)) dx) =
 -1/9*ln|x-1| - 1/(6(x-1)) + 1/18*ln|x^2+2x+3| +
  sqrt(2)/36*arctan((x+1)/sqrt(2))



Nebenrechnung: 

int(1/(x^2+2x+3) dx) = int(1/((x+1)^2+2) dx)  /* quadr. Ergaenzung */
= int(1/(y^2+2) dy)  /* y=x+1 */
= int((1/2)/((y/sqrt(2))^2+1) dy)  /* y=x+1 */
= int((1/2)/((y/sqrt(2))^2+1) dy)  /* z=y/sqrt(2) */
= sqrt(2)/2 int(1/(z^2+1) dz)
= 1/sqrt(2) arctan(z) = 1/sqrt(2) arctan((x+1)/sqrt(2))

int(x/(x^2+2x+3) dx) 
= int(1/2 * (2x+2)/(x^2+2x+3) - 1/(x^2+2x+3)  dx) =
= 1/2*int(1/u du) - 1/sqrt(2) arctan((x+1)/sqrt(2))  /* u = x^2+2x+3 */
= 1/2*ln|x^2+2x+3| - 1/sqrt(2) arctan((x+1)/sqrt(2))


Bemerkung: Im Tafelvortrag wurde empfohlen fuer mehrfache Nullstellen
einen einzigen Partialbruch dafuer mit nichtkonstantem Zaehler
anzusetzen. Im Beispiel waere das dann (Ux+V)/(x-1)^2. Eine Stammfunktion fuer diesen erhaelt man dann so: 

int (Ux+V)/(x-1)^2 dx = int (Uy-U+V)/y^2 dy = U ln|x-1| - (V-U)/(x+1)

Besser ist aber die im Beispiel verwendete Methode, bei der fuer eine
k-fache Nullstelle bei a insgesamt k Partialbruecke der Form
A_i/(x-a)^i fuer i=1..k angesetzt werden.

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