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ASCII Skript bis Weihnachten

Plain Text icon skriptbisweihnachten.txt — Plain Text, 52 KB (53774 bytes)

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1 Folgen und Reihen
===================


1.1 Grenzwert einer Folge
-------------------------

lim    1/n = 0
n->oo

lim     1/(n+1) = 0
n->oo

lim   n/(n+1) = lim (n+1-1)/(n+1) = lim 1 - 1/(n+1) = 1
n->oo           n->oo               n->oo


lim    n / 2^n   = 0
n->oo


Formal: Eine Folge (a_n)_n ist eine Funktion NN->RR, also fuer jedes
n:NN eine reelle Zahl a_n. Man schreibt

                           lim a_n = a, 
                          n->oo


falls fuer jedes epsilon>0 ein N:NN existiert, so dass |a_n - a| <= epsilon fuer alle n>N. "Fuer genuegend grosses n kommen die Folgenglieder dem Grenzwert beliebig nahe.". Man sagt, a sei der Grenzwert oder Limes der Folge (a_n)_n. 

Wir beweisen, dass lim 1/n = 0: 
                  n->oo

Sei epsilon>0 vorgegeben. Waehle N so, dass epsilon > 1/N Dann ist |1/n| < 1/N < epsilon fuer alle n>N.

Wir beweisen, dass lim n/2^n = 0
                   n->oo

Fuer n>3 ist n^2 <= 2^n. (gilt fuer n=4. Falls fuer festes n gueltig, dann auch fuer n+1: (n+1)^2 = n^2+2n+1 <= 2^n+2n+1 <= 2^n + 2^n = 2^(n+1)). 
Sei jetzt epsilon>0 vorgegeben. Waehle N so dass 1/N<epsilon und N>3.
Wenn n>N, dann ist n/2^n <= n/ n^2 = 1/n < epsilon.

Alternativ: 0 <= lim n/2^n <= lim n/n^2 = 0
                n->oo        n->oo


Achtung: Ein Grenzwert muss nicht existieren, z.B.

   lim  (-1)^n existiert nicht
   n->oo

lim   n  existiert auch nicht, aber man kann schreiben lim  n = oo
n->oo                                                  n->oo

und sagt, die Folge (a_n)_n mit a_n=n divergiert bestimmt gegen oo. Hingegen
divergiert die Folge ((-1)^n)_n unbestimmt, wie man sagt.

Grenzwerte vertauschen mit den Grundrechenarten und anderen Operationen, so gilt zum Beispiel

lim   1+1/n = 1 und lim 2^(1/n) = 2^0 = 1.
n->oo               n->oo


1.2 Summen
----------

Ist (a_k)_k eine Folge und n,N : NN, so definiert man

       N
      __
      >  a_k  := a_n + a_(n+1) + ... + a_N
      --
     k=n

meistens ist n=0 oder n=1. Wir schreiben auch sum(a_k,k=n..N). Natuerlich koennen die Indizes (also k) auch anders heissen. 

sum(k,k=n..n) = a_n

sum(k,k=n..N) =  0  für n > N nach Konvention


Es gilt:

sum(k,k=1..n) = 1 + 2 + 3 + ... + n = n*(n+1) / 2

sum(q^k,k=0..n) = (q^(n+1) - 1) / (q - 1)

sum(k^2,k=1..n) =  1/6*n(n+1)(2n+1)

Nicht immer kann man eine "geschlossene Form" finden, z.B. laesst sich

sum(1/k, k=1..n) nicht wesentlich vereinfachen, sondern man definier H_N als n-te harmonische Zahl



1.3 Teleskopsummen
------------------

Ist (a_n)_n eine Folge, und gilt b_n = a_n - a_(n-1) fuer n>0, so folgt
sum(b_n,n=1..N) = 
a_1 - a_0 + a_2 - a_1 + a_3 - a_2 + ... + a_N - a_(N-1) = a_N - a_0.

Solch eine Summe heisst Teleskopsumme.

Man kann damit interessante Summenformeln herleiten:

n^3 - (n-1)^3 = 3n^2-3n+1 (binomische Formel)

Also gilt:

sum(3k^2-3k+1,k=1..n) = n^3

Es folgt

sum(3k^2-3k,k=1..n) = n^3 - n
sum(3k^2,k=1..n) = n^3 - n - 3/2 n(n+1)
sum(k^2,k=1..n) = 1/3(n^3 - n - 3/2 n(n+1)) = 1/6*n(n+1)(2n+1)

Weiteres Beispiel:

q^n-q^(n-1) = q^(n-1)*(q-1).

Also gilt:

sum(q^(k-1)*(q-1),k=1..n) = q^n - 1

Es folgt

sum(q^(k-1),k=1..n) = (q^n-1)/(q-1)
sum(q^k,k=0..n-1) = (q^n-1)/(q-1)    /* Umbenennung der Laufvariablen */
sum(q^k,k=0..n) = (q^n-1)/(q-1) + q^n = (q^(n+1) - 1) / (q - 1)

Und noch ein Beispiel:

1/(k*(k+1)) = 1/k - 1/(k+1)     /* a_k = - 1/(k+1) */

Also ist sum(1/(k*(k+1)),k=1..n) = 1 - 1/(k+1)


1.4 Reihen
----------

Ist (a_k)_k eine Folge, so definiert man

   
      oo               n
      __              __
      >  a_k  := lim  >  a_k
      --         n->oo--
     k=n              k=n

und schreibt wie immer auch sum(a_k,k=n..oo). Ein Ausdruck dieser Form
heisst Reihe.

Wie jeder Grenzwert kann solch eine Reihe auch (bestimmt oder unbestimmt divergieren).

Beispiele:

sum(q^n,n=0..oo) = 1/(1-q), falls |q| < 1 (q kann auch negativ sein)
sum(q^n,n=0..oo) = oo (bestimmte Divergenz),
      falls q >= 1
sum(q^n,n=0..oo) divergiert unbestimmt, wenn q <= -1

Illustration: 
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2            /* q = 1/2 */
1 + 1 + 1 + 1 +... = oo                         /* q = 1 */
1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 + ... = 2/3   /* q = -1/2 */
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...  divergiert unbestimmt


Weitere Beispiele:

Dezimalbrueche: 3,14159 ... = 3 + 1*1/10 + 4*1/100 + ...
sum(d_k*10^(-k),k=0..oo) = x, falls d_k die k-te Dezimalstelle von x:[0,10]
ist. 

sum(1/k,k=1..oo) = oo (Harmonische Reihe)
sum(1/k*(k+1),k=1..oo) = 1   /* Partialsummen bilden Teleskope */

Eine Reihe sum(a_k,k=n..oo) konvergiert absolut, wenn auch die Reihe
sum(|a_k|,k=n..oo) konvergiert.

Wenn eine Reihe absolut konvergiert, so duerfen ihre Glieder
umgeordnet werden. Konvergiert eine Reihe zwar, aber nicht absolut, so
kann sich durch Umordnung der Glieder der Grenzwert veraendern, die
Umordnung ist also hier im allgemeinen unzulaessig.

Beispiel:

sum((-1)^(n+1) * 1/n,n=1..oo) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... konvergiert (s.u.)

aber die Konvergenz ist nicht absolut, denn sum(1/n,n=1..oo)
divergiert. Durch Umordnung kann ein beliebiger anderer Grenzwert
erreicht werden, z.B. 47: Nimm erst so viele positive Reihenglieder
bis man etwas ueber 47 liegt, dann wieder soviele negative, bis man
etwas drunterliegt und so weiter.



1.5 Konvergenzkriterien fuer Reihen
-----------------------------------

Majorantenkriterium:

Sei sum(c_k,k=n..oo) eine konvergente Reihe mit lauter nichtnegativen Gliedern und gilt |a_k| <= c_k, so konvergiert auch sum(a_k,k=n..oo) absolut.

Beispielanwendung: 1/k^2 <= 2/k*(k+1), also konvergiert die Reihe
sum(1/k^2,k=1..oo) absolut. Den Wert der Reihe kann man so aber nicht
bestimmen, man weiss nur, *dass* es ihn gibt. Zur Information: Es ist
sum(1/k^2,k=1..oo)=pi^2/6. 

      
Quotientenkriterium:

Sei sum(a_k,k=n..oo) eine Reihe und 0 <= q < 1 eine Zahl, sodass gilt:

|a_(k+1)/a_k| <= q

fuer alle k bis auf endlich viele Ausnahmen am Anfang ("fast ueberall").

Dann konvergiert die Reihe absolut. 

/* Das Quotientenkriterium ergibt sich aus dem Majorantenkriterium mit der geometrischen Reihe als Majorante */

Beispiel:

sum(1/k!,k=1..oo). Es ist k! / (k+1)! = 1/(k+1) <= 1/2 fuer k>0, also
konvergiert die Reihe. /* Der Grenzwert ist e=2.71828... */

NB k! = 1*2*3*4*...*k ("k Fakultaet").

Ebenso konvergiert sum(x^k/k!,k=1..oo) absolut fuer alle x:RR. Der
Grenzwert ist e^x. ("Exponentialreihe"). Bemerkung: Man kann
unmittelbar aus dieser Reihendarstellung beweisen, dass e^(x+y) = e^x*e^y etc.

NR: Hier ist |a_(k+1)/a_k| = |x/(k+1)| < .99 fuer k gross genug.
Erste paar Reihenglieder extra behandeln.

Leibnizsches Kriterium:

Seien a_k >= 0 und a_k >= a_(k+1) (Folge faellt monoton) und
lim(a_k,k->oo) = 0 (Nullfolge). Dann konvergiert die Reihe
sum((-1)^k*a_k,k=n..oo).

Beispiel: Die Reihe sum((-1)^(k+1)*1/k,k=1..oo) konvergiert. Ueber den
Grenzwert macht das Kriterium wie immer keine Aussage. Hier ist er
ln(2).

Weitere Kriterien: Cauchy-Kriterium, Wurzelkriterium.

2. Stetige Funktionen
=====================


2.1 Funktionsbegriff:
---------------------

Eine Funktion f:RR->RR ordnet jeder Zahl x:RR eine Zahl f(x):RR
zu. Der Graph der Funktion ist die Menge der Paare {(x,f(x)) |
x:RR}. Zeichnet man den Graphen in ein Koordinatensystem, so befindet
sich ueber jedem x-Wert genau ein y-Wert (y=f(x)).

Beispiele:

* Identische Funktion id(x)=x. Graph: um 45-Grad geneigte Ursprungsgerade. 
* Betragsfunktion abs(x)=|x|. Graph: Zwei symmetrische Halbgeraden, die sich im Ursprung beruehren.
* Quadratfunktion sq(x)=x^2. Graph: Normalparabel.
* Sinusfunktion, Exponentialfunktion,
* Stueckweise definierte Funktionen:

            / x^2, falls x>10
           |
   f(x) = <   2, falls x=10
           |
	    \ -x^2, sonst
	    

* Die floor-Funktion: floor(x) = groesste ganze Zahl <=x. 

Es gibt auch Funktionen, die nicht an allen Argumenten x:RR definiert
sind. Sind D,W Teilmengen von RR so schreibt man f:D->W, wenn f jedem
x:D einen Wert y=f(x) in W zuordnet. D heisst Definitionsmenge /
-bereich von f und W Wertemenge / -bereich.

Beispiele:

* f(x) = 1/x. Hier z.B. D = RR \ {0}, W = RR \ {0}. Graph: Hyperbel.
* f(x) = sqrt(x) (Wurzel). Hier z.B. D = RR^+_0.
* f(x) = ln(x) (Logarithmus). Hier z.B. D  = RR^+
* Jede Folge ist eine Funktion mit Definitionsbereich NN

In der Regel ruehrt D =/= RR daher, dass der Funktionsterm nicht
sinnvoll ausserhalb von D definiert werden kann, aber man kann den
Definitionsbereich auch willkuerlich einschraenken.

* D = RR^+_0 \ {47} und f:D -> RR und f(x) = x, fuer x:D.


Funktionen gibt es auch mit Definitions- und Wertebereichen, die nicht
Teilmengen von R sind, so gibt es zweistellige Funktionen mit
Definitionsbereich RR x RR oder einer Teilmenge davon, oder auf
Modulo-Zahlen definierte Funktionen. Definitions- und Wertebereich
koennen auch ganz andere Mengen sein, wie die aller Teilmengen von NN,
aller Listen von natuerlichen Zahlen, aller Folgen, aller
TeilnehmerInnen dieser Veranstaltung... Im folgenden sind aber, wenn
nichts anderes gesagt ist, Funktionen immer auf einer Teilmenge der
reellen Zahlen definiert und liefern reelle Zahlen zurueck.


2.2 Monotonie und Umkehrfunktion
--------------------------------

Eine Funktion f ist monoton steigend, wenn aus x<y folgt f(x)<=f(y).
Sie ist monoton fallend, wenn aus x<y folgt f(x)>=f(y).
Sie ist streng monoton steigend, wenn aus x<y folgt f(x)<f(x),
analog definiert man streng monoton fallend.

Die Funktionen x^2 , sqrt(x), ln(x), floor(x) sind monoton steigend, die ersten drei sogar streng.

NB: Strenggenommen muesste man schreiben, die Funktionen sq, sqrt,
floor, wobei sq(x)=x^2, etc sind ... Der Ausdruck x^2 ist naemlich
eigentlich keine Funktion, sondern ein Term. Es hat sich aber
eingebuergert, ueber diese Ungenauigkeit wegen der besseren Lesbarkeit
hinwegzugehen.

Die Funktion 1/x eingeschraenkt auf RR^+ ist streng monoton fallend.

Der Graph einer streng monoton steigenden Funktion steigt von links
nach rechts gelesen an. Der Graph einer monoton steigenden Funktion
darf auch streckenweise liegenbleiben.

Ist eine Funktion f:D->W streng monoton steigend, oder streng monoton fallend, und ist W so klein gewaehlt, dass tatsaechlich jedes Element von W auch als Funktionswert auftritt, so gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion g:W->D, die f umkehrt, sodass also gilt g(f(x)) = x. Man nennt g die Umkehrfunktion von f.

Beispiel f(x)=x^2 D=RR^+_0, W=RR^+_0. g(x)=sqrt(x).
Achtung: Nimmt man D=RR, so ist f nicht monoton.

Die Umkehrfunktion g ist eindeutig bestimmt und jeweils auch streng
monoton steigend oder fallend. Ausserdem ist f die Umkehrfunktion von
g. Man schreibt ueblicherweise f^(-1) fuer die Umkehrfunktion. Man
erhaelt den Graphen der Umkehrfunktion aus dem Graphen von f durch
Spiegelung an der 45 Grad steilen Ursprungsgeraden.


2.3 Grenzwerte von Funktionen
-----------------------------


Ist f:D->W eine Funktion und a:RR ein Punkt, der zwar nicht in D liegen muss, aber doch D beliebig nahe kommt (formal: fuer jedes epsilon>0 existiert a':D mit |a-a'|<=epsilon "Beruehrpunkt"). Man schreibt dann

lim f(x) = b
x->a

falls fuer jede Folge (x_n)_n mit x_n : D \ {a} und lim x_n = a gilt lim f(x_n) = b.
                                              n->oo            n->oo

Die Funktionswerte f(x_n) streben also gegen b, sofern die
Argumentfolge (x_n)_n gegen a strebt.

Man betrachtet auch den Fall, wo a=oo oder a=-oo ist. Hier muss der
Definitionsbereich beliebig grosse, bzw beliebig kleine Elemente
enthalten (a=oo: fuer alle N:RR existiert a':D mit a'>=N. Und a=-oo:
fuer alle N:RR existiert a':D mit a'<=N)

Beispiele:

lim x^2+7 = a^2+7  und Analoges gilt fuer beliebige Polynome
x->a

lim 1/x = 0
x->oo

lim x^2+7 = oo   /* analog zur bestimmten Divergenz von Folgen */
x->oo

lim   (x-1)/(x^2-1) = lim 1/(x+1) = 1/2
x->1                  x->1

Grenzwerte muessen nicht existieren, z.B. lim 1/x oder lim sin(1/x)
                                          x->0         x->0
					  
Manchmal schraenkt man bei der Limesbildung die Funktion auf Werte >a
oder <a ein. Man naehert sich also dem Punkt von oben oder
unten. Dafuer schreibt man dann

lim f(x)   /* Annaeherung von oben */
x->a+ 

lim f(x)   /* Annaeherung von unten */
x->a-

Es gilt z.B.

lim floor(x) = 1  aber lim floor(x) = 0  und lim floor(x) existiert nicht. 
x->1+                  x->1-                 x->1

lim 1/x = oo     und lim 1/x = -oo
x->0+                x->0-

Bemerkung:

Ist       lim f(x)=b, so folgt lim f(x) = lim f(x) = b
          x->a                 x->a+      x->a-

Gilt lim f(x) = lim f(x) = b, so ist lim f(x) = b
     x->a+      x->a-                x->a



2.4 Stetigkeit von Funktionen
-----------------------------

Eine Funktion f:D->W ist im Punkt a:D stetig, wenn lim f(x) = f(a).  
                                                   x->a

Beispiele:

f(x)=x^2 ist ueberall stetig.
Die floor Funktion ist an allen nicht-ganzzahligen Punkten stetig. 
Die Betragsfunktion ist ueberall stetig.
Die Funktionen sin, cos, tan, exp, ln, sind ueberall (in ihrem Definitionsbereich!) stetig.

Stetigkeitssaetze:

Sind f,g an einem Punkt a stetig, so auch f+g, f*g, f/g /* wenn g(a)=/=0*/,
f o g, also die Funktion h mit h(x)=f(g(x)), ...

Bemerkung (epsilon-delta Charakterisierung der Stetigkeit)

f:D->W ist im Punkt a:D genau dann stetig, wenn fuer jedes epsilon>0 ein delta>0 existiert, sodass fuer alle x mit |x-a|<=delta gilt |f(x)-f(a)|<=epsilon.

Fuer jede geforderte Genauigkeit epsilon gibt es eine Umgebung von a,
innerhalb derer alle Funktionswerte hoechstens epsilon von f(a)
abweichen.



3. Exponentialfunktion und Logarithmus
======================================

Die Exponentialfunktion exp(x)=e^x ist streng monoton steigend und ueberall >0.
Die Logarithmusfunktion ln(x) ist ihre Umkehrfunktion und ebenfalls
streng monoton steigend, aber nur fuer positive Zahlen definiert.

NB: Wir setzen hier voraus, dass die e-Funktion exp(x)=e^x aus der
Schule bekannt ist. Moechte man sie rigoros definieren, so bietet sich die bereits erwaehnte Exponentialreihe an: exp(x):=sum(x^n/n!,n=0..oo). 

3.1 Potenz- und Logarithmusgesetze
----------------------------------

Es gelten die folgenden Potenzgesetze

a^(u+v) = a^u*a^v
a^(u-v) = a^u/a^v
a^(uv)  = (a^u)^v
a^(u/v) = a^u^{1/v}
a^0 = 1

Zur Erinnerung:

a^n = a*...*a (n Faktoren), wenn n:NN
a^(-n) = 1 / a^n
a^{p/q} = q-te Wurzel aus a^p 

Aus den Potenzgesetzen ergeben sich die Rechenregeln fuer Logarithmen:

ln(xy) = ln(x)+ln(y)
ln(x/y) = ln(x)-ln(y)
ln(x^y) = y*ln(x)
ln(1) = 0

Ausserdem gilt:
a^u = exp(ln(a^u)) = exp(u*ln(a)).
Formal nimmt man dies als *Definition* der allgemeinen Potenz. 

Es gibt auch Logarithmen zu anderen Basen als e:

log_a ist die Umkehrfunktion zu a^x und es gilt: log_a(x) = ln(x) / ln(a). 



3.2 Grenzwerte mit exp und ln
-----------------------------

lim  exp(x)/x^n = oo 
x->oo

Die Exponentialfunktion waechst mit x->oo staerker als jede Potenz.

Anschaulicher Beweis:

exp(x) = sum(1/k!*x^k,k=0..oo) >= 1/(n+1)! x^(n+1), aber

lim 1/(n+1)!*x^(n+1)/x^n = oo
x->oo


lim  ln(x)/x^n = 0
x->oo

Der Logarithmus waechst langsamer als jede Potenz.

Anschaulicher Beweis:

lim  ln(x)/x^n = lim ln(exp(y))/exp(y)^n = lim y/exp(ny) = 0
x->oo            y->oo                     y->oo


Bemerkung: das gilt auch fuer n ersetzt durch irgendein alpha>0, z.B. alpha=1/2. 

lim  (exp(x)-1) / x = 0
x->0

Anschaulicher Beweis: Fuer x->0 ist exp(x) < 1+x+x^2 (Exponentialreihe),
aber lim x^2/x = 0 
     x->0


lim   x*ln(x) = lim exp(-y)*ln(exp(-y)) = - lim y/exp(y) = 0
x->0+           y->oo                       y->oo

3.3  Die Landau-Symbole
----------------------

Man schreibt auch exp(x) = 1+x+O(x^2) fuer x->0 wobei O(x^2) eine
Funktion bezeichnet, die höchstens so stark waechst (hier fuer x->0)
wie ein festes Vielfaches von x^2. Das *Landau-Symbol* O(f(x))
bezeichnet, bzgl eines bestimmten Grenzuebergangs x->a, eine beliebige
Funktion g mit |g(x)| <=c*|f(x)| fuer ein festes c>0 und x->a.

Man schreibt auch ln(x) = o(x^n) fuer x->oo zum Zeichen, dass ln(x) schwaecher waechst als jede Potenz von x. Das *Landau-Symbol* o(f(x))
bezeichnet, bzgl eines bestimmten Grenzuebergangs x->a, eine beliebige
Funktion g mit |g(x)| <=c*|f(x)| fuer alle c>0 und x->a.

Mit den Landau-Symbolen lassen sich Rechnungen mit Grenzwerten
bisweilen vereinfachen.


Z.B. lim (exp(x)-1)/x = lim (1+x+O(x^2))/x = 0
    x->0


lim    ln(x)/x =  o(x)/x = 0
x->oo

Die Landau Symbole verstehen sich immer bezueglich eines bestimmten Grenzuebergangs. So ist ln(x) = O(x-1) fuer x->1 aber nicht fuer x->0, denn lim ln(x)=-oo
                                                                x->0

Das Gleichheitszeichen bei der O-Notation ist auch eher eine Elementbeziehung, als eine echte Gleichheit, insbesondere nicht transitiv: x+1=O(x), x=O(x), aber natuerlich nicht x+10x.
 


4 Trigonometrische Funktionen
=============================

4.1 Bogenmass und Definition
----------------------------

Das Bogenmass eines Winkels alpha ist definiert durch alpha / 180Grad * pi.
Das Bogenmass entspricht der Laenge eines Bogens (zum entsprechenden Winkel)
des Einheitskreises.

Die y- und x-Koordinaten eines Einheitsvektors mit Winkel alpha (im Bogenmass von der x-Achse aus im Gegenuhrzeigersinn gemessen) heissen sin(alpha) und cos(alpha).

Die Sinus- und Cosinusfunktionen sind stetig und auf ganz RR definiert.


4.2 Rechenregeln und spezielle Werte
------------------------------------

Es gelten die folgenden Gesetze

sin(alpha+2pi) = sin(alpha)
cos(alpha+2pi) = cos(alpha)   /* sin und cos sind periodische Funktionen mit Periode 2pi */

sin(0)=0, cos(0)=1
sin(pi)=0, cos(pi)=-1
sin(pi/2)=1, cos(pi/2)=0
sin(pi/3 /*60 Grad*/)= 1/2sqrt(3)
cos(pi/3 /*60 Grad*/)= 1/2

sin(alpha)=cos(alpha-pi/2)

sin(alpha)^2 + cos(alpha)^2 = 1

sin(alpha+beta) = sin(alpha)cos(beta)+cos(alpha)sin(beta)
cos(alpha+beta) = cos(alpha)cos(beta)-sin(alpha)sin(beta)

etc

4.3 Trigonometrie
-----------------

Im rechtwinkligen Dreieck sei alpha einer der Winkel <pi/2. Die laengste Seite heisst Hypotenuse. Die kurze Seite, die an alpha anliegt heisst Ankathete, die alpha gegenueberliegende Seite heisst Gegenkathete.

Es gilt:
Ankathete/Hypotenuse = cos(alpha)
Gegenkathete/Hypotenuse = sin(alpha)

Man definiert auch noch tan(alpha) = sin(alpha)/cos(alpha). Es gilt dann

Gegenkathete/Ankathete = tan(alpha)

Satz:
Fuer x->0 gilt lim sin(x)/x = 1.

Anschaulicher Beweis: Fuer 0<=x<pi/2 gilt:

sin(x) <= x <= tan(x) (Veranschaulichung am Einheitskreis)

Also sin(x)/tan(x) <= sin(x)/x <= sin(x)/sin(x)
Also cos(x) <= sin(x)/x <= 1
Also lim sin(x)/x = 1 fuer x->0+.
Fuer x->0- ebenso, da sin(-x)/-x = sin(x)/x.


4.4 Umkehrfunktionen
--------------------

Der Sinus ist im Intervall [-pi/2,pi/2] streng monoton steigend mit
Wertemenge [-1,1]. Die entsprechende Umkehrfunktion heisst Arcus-Sinus
(arcsin, oder sin^-1) und ist auf [-1,1] mit Wertemenge [-pi/2,pi/2]
definiert.

Ebenso gibt es die Arcus-Cosinus Funktion arccos:[-1,1]->[0,pi]

und die Arcus-Tangensfunktion arctan:RR->[-pi/2,pi/2]

5 Komplexe Zahlen
=================

5.1 Definition durch Hinzunahme der Wurzel aus -1
-------------------------------------------------

Man erhaelt die komplexen Zahlen, indem man zu den reellen Zahlen die *imaginaere Einheit i, die dem Gesetz i^2 = -1 genuegt, hinzunimmt.

Bemerkung: Man kann nicht "einfach so" Zahlen dazu nehmen. Kaeme
z.B. jemand auf die Idee, eine Zahl j einzufuehren, sodass j=1/0, so
haette man 0*j=1, also 0 = 1*j - 1*j = (1-1)*j = 0*j = 1, ein
Widerspruch. Im Falle der Wurzel aus -1 ist diese Hinzunahme von i
aber widerspruchsfrei moeglich.

Jede komplexe Zahl hat dann die Form a+i*b fuer a,b:RR, denn jeder Rechenausdruck mit komplexen Zahlen laesst sich mithilfe der folgenden Rechenregeln auf dieses Format bringen:

Rechenregeln:

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
(a+bi) * (c+di) = ac+(ad+bc)*i+bdi^2 = (ac-bd)+(ad+bc)i wg i^2=-1
(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
(a+bi) / (c+di) = (a+bi)*(c-di) / (c+di)*(c-di) = 1/(c^2+d^2)*(ac+bd+(bc-ad)i)

Ist z=a+bi, so heisst a Realteil und b Imaginaerteil von z.
Man schreibt a=Re(z) und b=Im(z).




5.2 Konjugation und Betrag
--------------------------

Die Konjugierte von z ist die komplexe Zahl ^z := a-bi.
NB: ^z soll die Ueberstreichung von z, gelesen "z-quer" repraesentieren.

Es ist z * ^z = a^2+b^2 = Re(z)^2 + Im(z)^2.

Man definiert den Betrag einer komplexen Zahl durch
|z|=sqrt(Re(z)^2+Im(z)^2)=sqrt(z ^z).

Es gilt:

|w+z| <= |w|+|z| (Dreiecksungleichung)
|w*z| = |w|*|z|

Der Division komplexer Zahlen liegt also das Erweitern mit der
Konjugierten des Nenners zugrunde: w/z = w ^z / z z^ = 1/|z|^2 * w * ^z.

Die Menge der komplexen Zahlen wird mit CC bezeichnet (grosses C mit Doppelstrich).


5.3 Komplexe Zahlenebene
------------------------

Man veranschaulicht sich die komplexen Zahlen als Ortsvektoren in der
Ebene (Realteil = x-Koordinate, Imaginaerteil = y-Koordinate). Die
Laenge dieser Vektoren entspricht dann gerade dem eben definierten
Betrag. 

Die Addition komplexer Zahlen entspricht der Vektoraddition, die
Multiplikation entspricht der Operation "stretch and turn": die
Laengen (Betraege) der zu multiplizierenden Vektoren werden
multipliziert, die Winkel der Vektoren, gemessen von der x-Achse
entgegen dem Uhrzeigersinn, werden *addiert*,

Z.B. ist die imaginaere Einheit i der Einheitsvektor in
y-Richtung. Multipliziert man ihn mit sich selbst nach der
"stretch-and-turn" Vorschrift, so erhaelt man offensichtlich die Minus
Eins.

Ebenso gilt natuerlich i^3=-i und i^4=1.

Ist epsilon die komplexe Zahl mit Betrag 1 und Winkel 120 Grad, also

epsilon = -1/2 + 1/2*sqrt(3)*i

so ist epsilon^2 = ^epsilon und epsilon^3=1

Man sagt: epsilon sei eine primitive dritte Einheitswurzel ("Wurzel aus Eins"). 

"Primitiv" deshalb, weil alle drei dritten Einheitswurzeln, naemlich 1, epsilon und ^epsilon Potenzen von epsilon sind. Ebenso ist ^epsilon primitive dritte EW, denn epsilon = ^epsilon^2.

Die Zahlen 1,i,-1,-i sind vierte Einheitswurzeln, i und -i sind sogar primitiv. 


Allgemein ist die komplexe Zahl mit Betrag a und Winkel alpha (im
Bogenmass) gegeben durch

z = a*(cos(alpha) + i*sin(alpha))

Im Beispiel war alpha=2*pi/3 und sin(alpha)=1/2*sqrt(3), cos(alpha)=-1/2. 

Dementsprechend sind die n n-ten Einheitswurzeln gegeben durch
cos(2*phi*k/n)+i*sin(2*pi*k/n), wobei k=0...n-1. Fuer k teilerfremd zu
n, insbesondere k=1 ergeben sich primitive n-te EW.

NB: Alle n-ten EW sind Nullstellen des Polynoms z^n-1, also gibt es
hoechstens n n-te EW und wie wir gesehen haben, genau n.

Die Einheitswurzeln spielen unter anderem bei der diskreten
Fouriertransformation, einem wichtigen Hilfsmittel bei der
Signalverarbeitung eine bedeutende Rolle.

5.4 Komplexe Nullstellen von Polynomen
--------------------------------------

In den komplexen Zahlen hat jede (nichttriviale) quadratische
Gleichung eine Loesung, z.B.,

x^2 - 2x + 5 = 0
x_1/2 = 1/2*(-2 +- sqrt(-16)) = -1 +- 4i

Ebenso: sqrt(-3) = sqrt(3)i

Bem: ax^2+bx+c=0 heisst hier "trivial", wenn a=b=0. D

Es gilt sogar, das jedes nichtkonstante Polynom eine Nullstelle in den
komplexen Zahlen hat ("Fundamentalsatz der Algebra"). Hat man eine
Nullstelle gefunden, dann kann man die "rausdividieren" und findet so
insgesamt genau so viele Nullstellen (Vielfachheit eingerechnet), wie
der Grad des Polynoms. 

So hat das Polynom x^3-3x^2+8x-5 = (x^2-2x+5)*(x-1) eine reelle
Nullstelle, naemlich 1 und zwei komplexe Nullstellen, naemlich -1+4i
und -1-4i.

Da die komplexe Konjugation mit Addition und Multiplikation
vertraeglich ist (^(z+w)=^z + ^w und ^(zw)=^z ^w) folgt, dass wenn z
eine Nullstelle eines Polynoms P(x) ist, so auch die Konjugierte ^z.


5.5 Konvergenz im Komplexen
---------------------------

Konvergenz von Folgen und Grenzwerte von Funktionen werden im
Komplexen genauso wie im Reellen definiert. An die Stelle des
Absolutbetrages tritt hier natuerlich der Betrag der komplexen Zahlen.

Also konvergiert eine Folge (a_n)_n von komplexen Zahlen gegen b:CC,
wenn fuer jedes epsilon>0 ein N:NN existiert, sodass fuer alle n>=N
gilt |a_n-b|<epsilon.

Die Konvergenzkriterien fuer Reihen und bereits hergeleitete
Summenformeln gelten sinngemaess fort.

Beispiel: z := 1/(1+i) = 1/2*(1-i). Es ist |z|=1/2<1, also ist
sum(1/(1+i)^k,k=0..oo) = 1 / (1-z) = 2 / (1+i) = 1-i. 



5.6 Die komplexe Exponentialfunktion
------------------------------------

Man erweitert die Exponentialfunktion exp(x)=e^x auf die komplexen Zahlen durch die folgende Setzung:


e^(a+bi) = e^a * (cos(b) + i*sin(b))

also insbesondere e^(i*t) = cos(t) + i*sin(t).

Diese Definition ist aus folgenden Gruenden sinnvoll:

* Die Potenzgesetze gelten fort:

   e^(w+z) = e^w*e^z, selbst wenn w,z komplex sind

* Die Reihenentwicklung

   e^z = sum(z^k/k!, k=0..oo)

gilt auch fuer die oben definierte Fortsetzung der e-Funktion auf die komplexen Zahlen.

NB: Man kann die Exponentialreihe als Definition der komplexen
Exponentialfunktion nehmen und dann die obigen Gleichungen beweisen.

Es gilt sin(t) = Im(e^(it)), cos(t) = Re(e^(it)). Daraus erhaelt man
folgende Reihenentwicklungen fuer die trigonometrischen Funktionen:

sin(x) = sum((-1)^k * x^(2k+1)/(2k+1)!, k=0..oo)
cos(x) = sum((-1)^k * x^(2k)/(2k)!, k=0..oo)

Daraus kann man z.B. ableiten

lim sin(x)/x = lim (x+O(x^2))/x = 1
x->0           x->0
lim (cos(x)-1)/x = lim (O(x^2))/x = 0
x->0               x->0

Fuer den speziellen Wert x=pi ergibt sich aus der Definition der Exponentialfunktion die beruehmte Eulersche Formel

                     i pi 
                   e       =  -1

und ebenso e^(2*pi*i)=1. 




5.7 Polarkoordinaten
- - - - - - - - - -

Jede komplexe Zahl z=a+bi kann in der Form r*e^(i*phi) geschrieben
werden, wobei r=|z| = sqrt(a^2+b^2) und phi der Winkel des Ortsvektors
(a,b) ist. Es ist phi = arctan(b/a) oder phi = pi-arctan(b/a), je
nachdem, ob a positiv oder negativ ist. In vielen Programmiersprachen
gibt es die Funktion atan2 fuer diesen Zweck.

Man erhaelt als Anwendung eine praktische Darstellung der n-ten Einheitswurzeln: und zwar definiert man

w_z := e^(2*pi*i / n)

und die Eckpunkte eines regelmaessigen n-Ecks vom Radius Eins in der Zahlenebene sind dann w_z, w_z^2, ..., w_z^n, wobei w_z^n=1 gilt. 

Anwendung: Die Gleichung e^x = z hat fuer alle z:CC eine Loesung, naemlich ln(r)+i*(phi+2*pi*k), falls z=r*e^(i*phi) und k:ZZ beliebig.

Man findet die Notation Ln(z) fuer diese Loesung im Falle k=0 und
phi:]-pi;pi] und spricht vom Hauptwert des komplexen Logarithmus. Wir
verwenden diese Notation und Sprechweise nicht.

5.8 Komplexe Potenzen
---------------------

Fuer reelles a>0 und komplexes z definiert man

a^z := exp(z * ln(a))

Es gilt dann a^(w+z)=a^w*a^z. 


Potenzen mit komplexen Basen sind ebenso wie solche mit negativen
Basen nach wie vor nur fuer ganzzahlige Exponenten erklaert.

Zwar koennte man z.B. setzen, (-1)^(0.5) = i, aber warum nicht -i.
Bei komplexen Exponenten und negativen Basen ergeben sich weitere
Ungereimtheiten: 

e^(i pi) = -1

(-1)^i =?= e^(-pi)


e^(-2pi) =?= 1^i = 1 ????


5.9 Trigonometrische Funktionen im Komplexen
--------------------------------------------

Fuer reelles x rechnet man leicht nach, dass

cos(x) = (e^(ix)+e^(-ix))/2
sin(x) = (e^(ix)-e^(-ix))/(2i)


Diese Formeln machen nun auch fuer komplexes x Sinn und werden daher
als Definition der trig. Fkt. im Komplexen verwendet.  Die weiter oben
besprochenen Reihenentwicklungen fuer die trig. Fkt. gelten auch fuer
diese komplexen Erweiterungen. 


6. Differentiation
==================

6.1 Definition und Beispiele
----------------------------


Sei f : D->W wobei D <= RR, W <= CC und x:D.
Die Funktion f ist an der Stelle x:D differenzierbar, wenn der Grenzwert

lim   (f(x+h) - f(x)) / h
h->0

existiert. Man schreibt dann f'(x) fuer diesen Grenzwert. 

Alternative Notation: df(x)/dx (gelesen df(x) nach dx).

Im Falle W <=RR ist f'(x) die Steigung der Tangente an den Graphen von f
an der Stelle x, also die Steigung des Graphen im Punkt x. Je steiler,
desto groesser ist f'(x); ist f(x)=0, so verlaeuft der Graph im Punkt
x eben.

Im Falle W<=CC ist der Graph von f eine gewundene Kurve, f'(x) gibt
an, wie stark sich in einer Umgebung von x der Realteil und der
Imaginaerteil von x aendern.

Die Funktion f'(x), die die Steigung von f in Abhaengigkeit von x
angibt heisst Ableitung von f.

Beispiele: 

f(x) = c /* konstante Funktion */

lim  (c-c)/h = 0, also f'(x)=0 und der Grenzwert existiert fuer alle x:R 
h->0

oder sogar x:CC. (Steigung ueberall 0)

f(x) = x

lim  (x+h-x)/h = lim  h/h = 1, also f'(x)=1 (Steigung konstant 1) 

f(x) = x^2

lim  ((x+h)^2-x^2)/h = lim  (2hx+h^2)/h = 2x, also f'(x)=2x. 
(Steigung proportional zu x)

f(x) = 1/x und D=RR^+.

lim  (1/(x+h)-1/x)/h = lim  (x-x-h)/(h*x*(x+h)) = - lim h/(h*x*(x+h)) = - lim 1/(x*(x+h)) = - 1/x^2. Also f'(x) = - 1/x^2.

f(x) = exp(x)

lim (exp(x+h)-exp(x))/h = exp(x) * lim (exp(h)-1)/h = exp(x).

f(x) = sin(x)

lim (sin(x+h)-sin(x))/h = lim (sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)-sin(x))/h =
(cos(x)lim sin(h)/h) + sin(x)lim(cos(h)-1)/h = cos(x)

Analog: cos'(x) = -sin(x)

f(x) = g(lambda*x)

lim (g(lambda*x+lambda*h)-g(lambda*x))/h =
lim (g(lambda*x+k)-g(lambda*x))/(k/lambda) =
lambda * g'(lambda x)


Bemerkung: Bei komplexwertigen Funktionen gilt

Re(f'(x)) = (Re f)'(x)   Im(f'(x)) = (Im f)'(x)

Daraus ergeben sich alternative Beweise fuer die Ableitungen der
trigonometrischen Funktionen:

sin'(x) = Im(exp(ix)') = Im(i*exp(ix)) = cos(x)
sin'(x) = Re(exp(ix)') = Re(i*exp(ix)) = -sin(x)


Bemerkung: Ist eine Funktion f in einem Punkt x differenzierbar, so
ist sie in x auch stetig. Die Umkehrung gilt nicht immer;
Gegenbeispiel: f(x)=|x| ist in x=0 stetig, aber nicht differenzierbar. 


6.2 Differentiations-Regeln
---------------------------


Grundrechenarten:

Seien f,g:D->CC, lambda:CC

Es gelten

-) (f+g)'(x) = f'(x)+g'(x)
-) (f-g)'(x) = f'(x)-g'(x)
-) (lambda*f)'(x) = lambda*f'(x)
-) (f*g)'(x) = f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)
-) (f/g)'(x) = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)) / (g(x)^2)   (g(x) =/= 0)

Beispiele:

f(x) = x^3 = x^2*x
f'(x) = 2x*x + x^2*1 = 3x^2.

Allgemein gilt: Falls f(x)=x^n, so ist f'(x)=n*x^(n-1) und zwar nicht
nur fuer n:NN, sondern fuer alle n:CC.

f(x) = sin(x)*exp(x)
f'(x) = cos(x)*exp(x)+sin(x)*exp(x)

f(x) = tan(x) = sin(x)/cos(x)
f'(x) = 1/(cos(x)^2)*(cos(x)^2 + sin(x)^2) = 1/cos(x)^2



Kettenregel:

Sei g:D->W, h:W->CC

f(x) = h(g(x))

Dann ist f'(x) = h'(g(x))*g'(x)

Beispiele:
f(x)=exp(-x^2)
f'(x)=-exp(-x^2)*2x

f(x)=(sin(x))^2
f'(x)=2sin(x)*cos(x)



Differentiation der Umkehrfunktion.

Sei f:D->W und g:W->D die Umkehrfunktion von f (existiert, wenn f auf
D streng monoton ist).

Es gilt dann:  g'(f(x))=1/f'(x)

Beispiel:

f(x)=exp(x), g(x)=ln(x)
g'(exp(x)) = 1/exp(x), also g'(z)=1/z

f(x)=sin(x), g(x)=arcsin(x)
g'(sin(x))=1/cos(x)=1/sqrt(1-sin(x)^2), also g'(z)=1/sqrt(1-z^2)

f(x)=cos(x), g(x)=arccos(x)
g'(cos(x))=-1/sin(x)=-1/sqrt(1-cos(x)^2), also g'(z)=-1/sqrt(1-z^2)

f(x)=tan(x), g(x)=arctan(x)
g'(tan(x))=cos(x)^2=1/(1+tan(x)^2), also g'(z)=1/(1+x^2)
NR: tan(x)^2=(1-cos(x)^2)/cos(x)^2 ==> cos(x)^2=1/(1+tan(x)^2)

Es ist bemerkenswert, dass die Ableitungen der Umkehrfunktionen von
exp,sin,cos,tan vergleichsweise einfach aussehen.

Beispiel: f(x)=x^x
f(x) = exp(ln(x^x)) = exp(x*ln(x))
f'(x) = exp(x*ln(x))*(1*ln(x)+x*1/x) = x^x * (ln(x)+1)


Anwendungsbeispiel:

lim log( (1+x/n)^n) = lim n*log(1+x/n) = 
n->oo

lim x * log(1+x/n)/(x/n) = 
n->oo

lim x * log(1+h)/h = x * log'(1) = x
h->0

also ist lim (1+x/n)^n = e^x 
         n->oo

"Stetige Verzinsung". Die jaehrlichen Zinsen seien x, z.B. x=0.03
(drei Prozent). Das Jahr wird in n Teile zerlegt, z.B. n=360, nach
jedem Teil werden die Zinsen berechnet und zum Kapital addiert. Es
multipliziert sich also mit (1+x/n), bzw. nach einem Jahr um
(1+x/n)^n. Laesst man die Teile im kleiner werden, so wird im
Grenzwert das Kapital mit e^x multipliziert.


6.3 Höhere Ableitungen
----------------------

Man definiert die zweite Ableitung einer Funktion als die Ableitung
der Ableitung. Sie ist ein Mass fuer die Aenderung der Steigung oder
die Kruemmung des Graphen.

f''(x) = g'(x) wobei g(x)=f'(x)

Natuerlich muss f'(x) in einer Umgebung von x existieren, damit f''(x)
in x existiert.

Man schreibt auch d^2 f(x) / dx^2 fuer f''(x).


6.4 Monotonie und Konvexitaet
-----------------------------


Ist f'(x)>0 in einem Intervall I, so steigt f streng monoton in I
Ist f'(x)<0 in einem Intervall I, so faellt f streng monoton in I 
Ist f''(x)>=0 in einem Intervall I, so ist f in I konvex (nach oben gebogen)
Ist f''(x)<=0 in einem Intervall I, so ist f in I konkav (nach unten gebogen). 

Ist f in einem Intervall monoton wachsend, bzw. fallend, so gilt in
diesem Intervall f'(x)>=0, bzw. f'(x)<=0.

Eine analoge Umkehraussage kann fuer die zweite Ableitung getroffen
werden.

Die Funktion f(x)=x^3 ist in ganz RR streng monoton steigend, aber f'(0)=0.

Formal definiert man eine auf einem Intervall I definierte Funktion f
als konvex, wenn fuer alle x,y:I und lambda:[0,1] gilt:

    f(lambda*x + (1-lambda)*y) <= lambda*f(x)+(1-lambda)*f(y)

Hier ist z := lambda*x + (1-lambda)*y ein Punkt zwischen x und y und
lambda*f(x)+(1-lambda)*f(y) ist der Punkt oberhalb von z auf der
Geraden durch (x,f(x)) und (y,f(y)).

Konvexitaet bedeutet also, dass der Graph zwischen zwei Punkten sich
jeweils unterhalb der Verbindungsgerade der beiden Punkte befindet
("nach oben gebogen"). Beispiele auf ganz RR konvexer Funktionen sind
exp(x) und f(x)=x^2 und (ein Grenzfall) auch f(x)=x.

Eine Funktion f(x) ist konkav, wenn -f konvex ist, oder - 
gleichbedeutend - die obige Ungleichung mit >= statt mit <= erfuellt ist
("nach unten gebogen"). Die Wurzelfunktion ist z.B. auf [0,oo] konkav.

Anwendung: Fuer lambda:[0,1] und x,y:RR^+_0 gilt

x^lambda * y^(1-lambda) <= lambda*x + (1-lambda)*y

Beweis:

Der Logarithmus ist konkav (zweite Ableitung -1/x^2). Daher gilt

lambda*ln(x)+(1-lambda)*ln(y) <= ln(lambda*x + (1-lambda)*y)

Also

ln(x^lambda*+y^(1-lambda)) <= ln(lambda*x + (1-lambda)*y)

woraus die Behauptung durch Anwenden der monotonen Funktion exp folgt.

Diese Abschaetzung hat weitere Anwendungen in der linearen Algebra
(siehe [Forster]).



6.5 Lokale Extrema
------------------

Sei f:]a,b[ -> RR eine Funktion. f hat in x:]a,b[ ein lokales Maximum
/ Minimum, wenn epsilon>0 existiert, sodass fuer alle y mit
|x-y|<epsilon gilt f(y)<=f(x) (Maximum), bzw f(y)>=f(y) (Minimum). Hat
man <,> statt <=,>=, so spricht man von einem strengen
Maximum/Minimum. Der Oberbegriff fuer Maxima und Minima lautet
Extremum. 

Beispiele:

f(x)=x^2 hat bei x=0 ein lokales Minimum.

f(x)=sin(x) hat lokale Maxima bei pi/2+2*k*pi fuer k:ZZ und lokale
Minima bei -pi/2+2*k*pi fuer k:ZZ.

f(x)=exp(x) hat keine lokalen Extrema.

Satz: Hat f bei x ein lokales Extremum und ist f bei x differenzierbar, so ist f'(x)=0.

Intuitive Begruendung: Die Steigung bei x muss Null sein, sonst
koennte man ja in der Naehe von x noch nach oben oder unten gehen.

Die Umkehrung gilt nicht, z.B. ist f'(0)=0 fuer f(x)=x^3.

Satz: Gilt f'(x)=0 und f''(x)>0, so hat f bei x ein strenges lokales Minimum;
Ist f''(x)<0, so hat f bei x ein strenges lokales Maximum.

Intuitive Begruendung: f hat bei x Steigung 0 und ist nach unten gebogen. Es muss ein Maximum vorliegen.

Beispiel: f(x) = x^3 - 2*x^2 + 1
f'(x)=3x^2-4x
f'(x)=0 <=> x:{0,4/3}
f''(x)=6x-4
f''(0)=-2, f''(4/3)=2
Strenges lokales Maximum bei x=0; strenges lokales Minimum bei x=2/3.

Bemerkung: interessiert man sich fuer Extremwerte in einem
geschlossenen Intervall, so muss man die Intervallgrenzen gesondert
behandeln.

Beispiel: Man bestimme alle Extrema von f(x)=x^2 in [-1,1]. Lokales
(und absolutes) Minimum bei x=0 und es ist f'(0)=0. Lokale und
absolute Maxima bei x=-1, x=+1, aber f'(1), f'(-1) =/= 0.

Man bestimme das lokale Minimum von f(x)=x^x:
Es ist f'(x)=x^x(ln(x)+1) und f''(x)=x^x((ln(x)+1)^2+1/x)
Die einzige Nullstelle von f' ist 1/e und f''(1/e)=e*(1/e)^(1/e)>0.


6.6 Mittelwertsätze
-------------------

Satz (Zwischenwertsatz): Sei f: [a,b]->RR eine stetige Funktion. Fuer
jeden Wert y:[f(a),f(b)], bzw y:[f(b),f(a)],  gibt es ein x:[a,b] mit f(x)=y.
      
Begruendung: man beschreibt das gesuchte x durch eine
Intervallschachtelung. Aufgrund der Stetigkeit von f ergibt sich dann
der gewuenschte Funktionswert, Details s. Forster, S113.

Verallgemeinerung: Sei f: [a,b]->RR eine stetige Funktion. Seien
u,v:[a,b] mit f(u)<=f(v). Fuer jeden Wert y:[f(u),f(v)] gibt es ein
x:[a,b] mit f(x)=y.

Satz (Mittelwertsatz der Differentialrechnung): Ist f:[a,b]->RR stetig
differenzierbar, so gibt es x:[a,b] mit f'(x)=(f(b)-f(a))/(b-a).

D.h. an einem Punkt in [a,b] entspricht die Steigung gerade der
Steigung der Sekanten durch a und b.

Beweis: Durch Umskalierung kann man sich auf den Fall f(b)=f(a)
beschraenken ("Satz von Rolle"). Dann aber folgt die Aussage aus der
Tatsache, dass zwischen a und b ein lokales Extremum liegen muss.

Anwendungen: 

Satz: Ist I ein Intervall und f:I->W differenzierbar und gilt f'(x)=0
fuer alle x:I, so ist f konstant, also f(x)=c fuer ein c:W und alle
x:D.

Beweis: Seien a,b:I mit a=/=b. Nach dem Mittelwertsatz der
Differentialrechnung:gibt es x:I mit (f(b)-f(a))/(b-a) = f'(x) = 0,
also f(a)=f(b).

Es gilt daher, f(x)=c fuer c:=f(a) fuer beliebig gewaehltes a:I.

Satz: Ist I ein Intervall und f:I->W differenzierbar und gilt
f'(x)=a*f(x) fuer alle x:I, so existiert c mit f(x)=c*exp(a*x).

Beweis: Betrachte g(x)=f(x)*exp(-a*x). Es ist
g'(x)=f'(x)*exp(-ax)-a*f(x)*exp(-ax) = 0 nach Annahme an f. Also ist
g(x) konstant und die Behauptung folgt.

Satz: Ist I ein Intervall und f:I->W differenzierbar und gilt
f''(x)=-a^2*f(x) fuer alle x:I, so existieren c,d mit
f(x)=c*sin(a*x)+d*cos(a*x).

Beweis: Hat f tatsaechlich diese Form, so gilt fuer
f1(x):=f(x)/cos(ax), dass f1(x)=c*tan(ax)+d und weiter
f1'(x)=ac/cos(ax)^2. Daher muesste f1'(x)*cos(ax)^2 konstant sein
(naemlich =ca). Das rechnen wir jetzt nach:

Setze g(x) := f1'(x)*cos(ax)^2 = f'(x)*cos(ax) + a*f(x)*sin(ax).

Es ist g'(x)=f''(x)*cos(ax)-a*f'(x)*sin(ax)+a*f'(x)*sin(ax)+a^2*f(x)*cos(ax)=0.

Also g(x)=c' fuer ein c':RR. Wir setzen c:=c'/a und bemerken, dass
wiederum unter der Annahme, dass f die gewuenschte Form hat, dann

h(x) := (f(x)-c*sin(ax))/cos(ax)

konstant sein muesste. Das rechnen wir ebenso nach: 

h'(x) = 1/cos(ax)^2 * (f'(x)-ac cos(ax))cos(ax)+a(f(x)-c*sin(ax))sin(ax) =
h'(x) = 1/cos(ax)^2 *
(f'(x) cos(ax) - ac cos(ax)^2 + a f(x) sin(ax) - ac*sin(ax)^2) =
1/cos(ax)^2 *
(f'(x) cos(ax) + a f(x) sin(ax) - ac) = 0

Also gibt es d:RR mit h(x)=d und Rueckeinsetzen liefert f(x)-c*sin(ax)
= d*cos(ax), also f(x)=c*sin(ax)+d*cos(ax) wie gewuenscht.





6.7 Regeln von l'Hospital
-------------------------

Aus dem Mittelwertsatz der Differentialgleichung koennen folgende
nuetzliche Regeln fuer Grenzwerte hergeleitet werden.

Satz (Regeln von L'Hospital):

Seien f,g:D->CC stetig differenzierbar und lim f'(x)/g'(x) = c
                                           x->b

Hier ist b:RR u {oo, -oo}.

Wenn lim f(x) = lim g(x) = 0, so ist lim f(x)/g(x) = c
     x->b       x->b                 x->b

Wenn lim f(x) = lim g(x) = +/- oo, so ist lim f(x)/g(x) = c
     x->b       x->b                 x->b


Beispiele:

lim (exp(x)-1) / x = lim exp(x) / 1 = 1
x->0                 x->0

lim x^x = lim exp(x*ln(x)) = exp(lim(ln(x)/(1/x))) =
x->0      x->0                   x->0

= exp(lim -(1/x)/(1/x^2)) = exp(0) = 1.
      x->0


Achtung: Damit die Regel von L'Hospital anwendbar ist, *muss* eine der
sog.  unbestimmten Formen, also 0/0, +/- oo/oo vorliegen.

Gegenbeispiel:

0 = lim  x / (1+x) =/= lim 1/1 = 1
    x->0               x->0

Beweisskizze fuer den Spezialfall lim f(x)/x mit lim f'(x) = c und lim f(x)=0  
                                  x->0           x->0             x->0

Wir koennen (ggf stetig fortsetzen) annehmen, dass f(0)=0. Zu jedem x
gibt es also y:[0,x], sodass f'(y)= (f(x)-f(0))/(x-0) = f(x)/x. Wenn
also lim f'(y) = c, dann muss auch lim f(x)/x = c sein. 


7. Integralrechnung
===================

7.1 Definition und Beispiele
----------------------------

Definition: Eine Funktion f:[a,b]->CC heisst stueckweise stetig, wenn es eine Zerlegung des Intervalls [a,b] in endlich viele Teilintervalle gibt, sodass
f auf jedem Teilintervall stetig ist. Formal gibt es also a0..an mit
a=a0<a1<...<an=b und f ist eingeschraenkt auf [ai,a(i+1)] jeweils stetig.

Das bedeutet insbesondere, dass f nur an endlich vielen
Ausnahmepunkten unstetig ist und dass diese endlich vielen
Ausnahmepunkte alles "Sprungstellen" sind (links- und rechtsswietiger
Grenzwert existieren). Es ist auch klar, dass eine stueckweise stetige
Funktion beschraenkt ist.

Beispiele: Wenn f ueberhaupt stetig ist, dann ist f natuerlich auch
stueckweise stetig, also z.B. f(x)=x^2*sin(x) auf [-3,7]. Die Funktion
darf aber wie gesagt endlich viele Sprungstellen haben, also zum
Beispiel f(x)=floor(x) auf [-10,10] mit 21 Sprungstellen.

Die Funktion f(x) = 1/x^2 auf [-1,1] hat zwar nur eine
Unstetigkeitsstelle bei x=0, gilt aber wegen dem oben Ausgefuehrten
nicht als stueckweise  stetig.

Definition: Sei f:D->W <= CC eine Funktion, sodass f eingeschraenkt
auf das Intervall [a,b] stueckweise stetig ist. Das Riemann-Integral
ist dann als folgender Grenzwert definiert:

                        N-1
   b                    ___
   /                    \
   | f(x) dx  := lim     >   f(a+k(b-a)/N)*(b-a)/N
   /             N->oo  /
   a                    ---
                        k=0

Man kann zeigen, dass dieser Grenzwert immer existiert.

Wir schreiben auch int(f(x) dx, a..b)

Beispiele:

int(x dx, 0..b) = lim sum(k*b/N * b/N,k=0..N-1) = lim b^2/N^2*sum(k,k=0..N-1) = 
                  N->oo

= lim b^2/N^2*N*(N-1)/2 = b^2/2. 


int(x^2 dx, 0..b) = lim sum((k*b/N)^2 * b/N,k=0..N-1) =
= lim b^3/N^3*sum(k^2,k=0..N-1) = 1/3 b^3.

Man deutet das Integral geometrisch als die Flaeche unter dem Graphen
von f im Intervall a..b.



 ^
 |
 1            |        Die Flaeche des krummlinigen Dreiecks, also unterhalb
 |           ||        der Normalparabel ist also int(x^2 dx,x=0..1) = 1/3. 
 |           /|
 .5         / |
 |         -  |
 | _   - °    |
-|-----.5-----1----------->


Die krummlinige Flaeche wird durch Flaechen von immer schmaler
werdenden Rechtecken (der Hoehe f(a + k*(b-a)/N) und Breite (b-a)/N)
angenaehert.


Bemerkung: Normalerweise definiert man das Riemann-Integral zunaechst
fuer beliebige Funktionen als Grenzwert von Summen wie oben, wobei
allerdings die Wahl der Stuetzstellen nicht unbedingt aequidistant zu
erfolgen hat. Existiert der Grenzwert unabhaengig von der Wahl der
Stuetzstellen, sofern nur deren Abstand (Maschenweite) gegen Null
geht, so bezeichnet man die Funktion als "Riemann integrierbar".

Man kann dann zeigen, dass eine Funktion genau dann Riemann
integrierbar ist, wenn sie hoechstens abzaehlbar viele
Unstetigkeitsstellen hat und ausserdem auf dem Intervall [a,b]
beschraenkt ist (Lebesgue-Kriterium). Im Falle einer Riemann-integrierbaren
Funktion genuegen dann natuerlich auch die aequidistanten Unterteilungen.

Es gibt auch noch allgemeinere Integralbegriffe (heutiger Standard ist
das Lebesgue-Integral), mit dem auch noch anderen Funktionen ein
Integral zugewiesen werden kann, insbesondere solchen, die auf einem
offenen Intervall, wie [0,oo[ definiert sind, oder solchen, die
nirgendwo stetig sind, wie etwa die Dirichlet Funktion

d(x) = if x rational then 1 else 0

Fuer unsere Zwecke (und die allermeisten in der Praxis vorkommenden Faelle)
genuegt die Definition des Integrals fuer stueckweise stetige Funktionen. 

Weiteres Beispiel:

int(exp(x) dx, x=0..b).

Zunaechst stellen wir fest

sum(exp(k*b/N),k=0..N-1) = sum(exp(b/N)^k,k=0..N-1) =
(exp(N*b/N)-1) / (exp(b/N)-1)  /* geometrische Reihe */
= (exp(b)-1)/(exp(b/N)-1)

Also sum(exp(k*b/N)*b/N,k=0..N-1) =
b/N * (exp(b)-1)/(exp(b/N)-1).

Der Grenzwert hiervon fuer N->oo ergibt sich zu exp(b)-1, also ist 

int(exp(x) dx, x=0..b) = exp(b)-1. 

Satz: Fuer a<=b<=c gilt (sofern die vorkommenden Ausdruecke ueberhaupt definiert sind)

int(f(x)dx,x=a..b) + int(f(x)dx,x=b..c) = int(f(x)dx,x=a..c)

Begruendung: Intuitiv ist das klar, fuer einen rigorosen Beweis muss
man etwas vorsichtig sein, weil die Zusammensetzung von zwei
aequidistanten Einteilungen im allgemeinen nicht wieder eine
aequidistante Einteilung liefert.

Satz (Mittelwertsatz der Integralrechnung):
Ist f:[a,b]->RR stetig (nicht nur stueckweise!),
so existiert x0:[a,b] derart dass

int(f(x) dx,x=a..b) = f(x0)*(b-a)

Veranschaulichung: f(x0)*(b-a) ist ein Rechteck der Breite b-a und
Hoehe f(x0). Man waehlt zunaechst die Hoehe so, dass diese Flaeche
gerade dem Integral entspricht. Dann erhaelt man mit dem
Zwischenwertsatz einen passenden x-Wert.

Es gilt auch noch folgende allgemeinere Version des Mittelwertsatzes:

Satz: Sei f auf [a,b] stetig und g stueckweise stetig, so existiert x0:[a,b] mit
int(f(x)*g(x) dx,x=a..b) = f(x0)*int(g(x) dx,x=a..b)

Beweis: Sei m das absolute Minimum von f auf [a,b] und M das Maximum.

Setze mu := int(f(x)*g(x))/int(g(x) dx, x=a..b). Wegen m*int(g(x) dx,
x=a..b) <= int(f(x)*g(x) dx,x=a..b) <= M*int(g(x) dx, x=a..b) liegt mu
zwischen m und M und wird nach dem Zwischenwertsatz von f
angenommen. Das liefert das gewuenschte x0.

 

7.2 Integration und Differentiation
-----------------------------------

Satz:

Sei I ein Intervall (moeglicherweise offen,
moeglicherweise mit Grenzen -oo, oo) und f:D->W stetig.

Fuer jedes a:I ist die Funktion F:I->W definiert durch

F(x) = int(f(t) dt,t=a..x)

auf ganz I stetig differenzierbar  und es ist F'(x)=f(x).

Beweisskizze: F(x+h)-F(x) = int(f(t) dt,t=x..x+h) = h*f(xi) fuer ein
xi:[x..x+h] /*Mittelwertsatz der Integralrechnung*/. Es folgt

F'(x) = lim (F(x+h)-F(x))/h = f(x). 
        h->0


Definition: Sei f stetig. Eine Funktion F mit F'=f heisst
*Stammfunktion* von f.

Man kann den Begriff der Stammfunktion auf stueckweise stetige
Funktionen f erweitern. Hier muss dann die Stammfunktion ueberall
ausser an den Sprungstellen vonf differenzierbar sein und ihre
Ableitung muss dort mit f uebereinstimmen.

Beispiel: Die Betragsfunktion ist in diesem Sinne Stammfunktion der
Signumfunktion.

Aus obigem Satz folgt unmittelbar der Fundamentalsatz der Differential-
und Integralrechnung:

Ist F Stammfunktion von f, so ist int(f(x) dx,x=a..b) = F(b)-F(a)

Begruendung: Zwei Stammfunktionen koennen sich nur um eine Konstante
unterscheiden, die sich bei der Differenz weghebt. Die Funktion
int(f(t) dt,t=a..x) selbst ist aber auch eine Stammfunktion.

Man fuehrt fuer die Differenz F(b)-F(a) die Notation [F(x)]_a^b ein.

Dieser Fundamentalsatz erlaubt die sehr komfortable Auswertung von Integralen:

Beispiele:

Aus d/dx x^s = s*x^{s-1} ergibt sich, dass 1/(s+1)*x^(s+1) Stammfunktion zu x^s ist. Also folgt

    int(x^s dx, x=a..b) = [1/(s+1) x^(s+1)]_a^b

Man schreibt fuer eine Stammfunktion von f abkuerzend

int(f(x) dx)

und bezeichnet das als "unbestimmtes Integral" im Gegensatz zu den
vorher eingefuehrten "bestimmten Integralen" mit expliziten
Integrationsgrenzen.

Zum Beispiel ist: 

int(x dx) = 1/2 * x^2

Die Notation ist aber mit etwas Vorsicht zu verwenden, denn 1/2*x^2 +
1 ist ja auch eine Stammfunktion.

Man sieht daher auch die Notation

int(f(x) dx) = F(x) + C

wobei C eine beliebige Konstante repraesentieren soll.

Aus den bisher gefundenen Ableitungen ergeben sich folgende weitere
Stammfunktionen.

int(sin(x) dx) = -cos(x)
int(cos(x) dx) = -sin(x)
int(exp(x) dx) = exp(x)
int(1/x dx) = ln(x), falls x>0
int(1/x dx) = ln(-x), falls x<0
daher insgesamt: int(1/x dx) = ln(|x|).
int(1/(1+x^2) dx) = arctan(x)
int(1/sqrt(1-x^2) dx) = arcsin(x)

Wir halten noch fest, dass die Integration eine lineare Operation ist:

int(f(x)+g(x) dx) = int(f(x) dx) + int(g(x) dx)
int(lambda*f(x) dx) = lambda * int(f(x) dx)

7.3 Substitutionsregel
----------------------

Die Kettenregel lautet bekanntlich: Ist f(x)=h(g(x)), so ist
f'(x)=h'(g(x))*g'(x)

Dementsprechend ist h(g(x)) eine Stammfunktion zu h'(g(x))*g'(x):

int(h'(g(x))*g'(x) dx) = h(g(x))

Das ist die *Substitutionsregel*.

Die Schwierigkeit liegt darin, dass der *Integrand* dieses ganz
bestimmte Format h'(g(x))*g'(x) fuer geeignete Funktionen g,h haben
muss, damit die Regel anwendbar ist.

Beispiele: 

int(exp(lambda*x) dx) = 1/lambda int(exp(lambda*x)*lambda dx) =
                                             1/lambda exp(lambda*x) 
int(exp(x^2)*x dx) = 1/2 * int(exp(x^2)*2x dx) = 1/2 exp(x^2)

Manchmal ist als Merkhilfe folgende symbolische Rechnung nuetzlich:

Nachdem g'(x) = dg(x)/dx hat man *formal* auch g'(x) dx = dg(x), also

int(h(g(x))*dg(x), x=a..b) = int(h(u) du, u=g(a)..g(b))

und ebenso

int(h(g(x))*dg(x)) = int(h(u) du)

Hiermit kann man wie folgt rechnen:

int(exp(x^2)*x dx) = 1/2*int(exp(u) du) = 1/2 exp(u) = 1/2 exp(x^2)

NR: Setze u:=x^2, also du/dx = 2x, also du = 2x dx, also x dx = 1/2 du. 

Weitere Beispiele:

int(tan(x) dx) = int(sin(x)/cos(x) dx) = - int(1/u du) = - ln(|u|) = -ln(|cos(x)|).

NR: u=cos(x), also du = -sin(x) dx. 


Manchmal muss man die Substitutionsregel auch in umgekehrter Richtung
anwenden:

Sucht man eine Stammfunktion zu f und besitzt g eine Umkehrfunktion
(ggf eingeschraenkt auf ein passendes Intervall) und ist

h(y) = int f(g(y))*g'(y) dy 

so gilt fuer die Stammfunktion F(x) = int f(x) dx, dass

F(g(y)) = h(y),

also F(x) = h(g^(-1)(x)).

Beispiel: Gesucht ist eine Stammfunktion zu f(x)=sqrt(1-x^2)
(definiert auf [-1,1]).

Wir waehlen g(y)=sin(y) auf [-pi/2,pi/2] mit Umkehrfunktion
arcsin:[-1,1]->[-pi/2,pi/2]

Es ist int f(g(y)) g'(y) dy = int sqrt(1-sin(y)^2) * cos(y) dy =
int |cos(y)|*cos(y) dy = int cos(y)^2 dy = 1/2*(y+sin(y)*cos(y))
/*Durch Raten*/.

Also ist int sqrt(1-x^2)dx = 1/2*(arcsin(x)+x*sqrt(1-x^2))

Insbesondere ist int(sqrt(1-x^2) dx,-1..1) = arcsin(1) = pi/2 (Flaeche
des halben Einheitskreises).

Auch diese Version der Substitutionsregel kann durch die formale
Rechnung mit dx,du anschaulich gemerkt werden:

int sqrt(1-x^2) dx = ... 

Substitution x=sin(y), dx/dy = cos(y), also dx = cos(y)dy

... = int sqrt(1-sin(y)^2) cos(y) dy =
int cos(y)^2 dy = ...


Man kann die Substitutionsregel auch fuer Integrale mit
Integrationsgrenzen verwenden ("bestimmte Integrale"), wenn man die
Grenzen entsprechend mitsubstituiert. Das geht aber nur, wenn die
substituierte Funktion umkehrbar ist. Ggf muss man also das Integral
zerlegen:

int(exp(x^2)*x dx, x=0..2) = 1/2*int(exp(u) du,u=0..4) = [1/2 exp(u)]_0^4.

int(exp(x^2)*x dx, x=0..2) = 1/2*int(exp(u) du,u=0..4) = [1/2 exp(u)]_0^4.

int(exp(x^2)*x dx, x=-1..1) =
int(exp(x^2)*x dx, x=-1..0) + int(exp(x^2)*x dx, x=0..1)  =
[1/2 exp(u)]_1^0 + [1/2 exp(u)]_0^1 = 0

int(sqrt(1-x^2) dx,x=-1..1) = int(cos^2(y) dy,y=-pi/2..pi/2) =
[1/2*(y+sin(y)*cos(y))]_(pi/2)^(pi/2) = pi/2



7.4 Partialbruchzerlegung
-------------------------

Folgendes Beispiel moege die Methode der Partialbruchzerlegung
erlaeutern: Es gelte, eine Stammfunktion zu f(x)=1/(x^2-x-2)
aufzusuchen. Man zerlegt zunaechst den Nenner in Linearfaktoren:
x^2-x-2 = (x+1)(x-2). Sodann macht man den Ansatz

1/((x+1)(x-2)) = A/(x+1) + B/(x-2)

Durchmultiplizieren mit dem Hauptnenner fuehrt auf B(x+1)+A(x-2)=1,
also (Koeffizientenvergleich!): A+B=0, -2A+B=1, also A=-1,
B=1. Demnach ist

int(1/(x^2-x-2) dx) = int(-1/(x+1)+1/(x-2) dx) = -ln(|x+1|) + ln(|x-2|). 

Die beiden Brueche -1/(x+1) und 1/(x+2) heissen *Partialbrueche*.

Dieser Ansatz funktioniert immer, wenn der Nenner vom Grad d auch d
verschiedene reelle Nullstellen hat. Gibt es komplexe Nullstellen, so
muss man Partialbrueche ansetzen, die die entsprechenden quadratischen
Faktoren als Nenner haben (und lineare Terme Ax+B im Zaehler).
Hat man Nullstellen groesserer
Vielfachheit, so muessen Partialbrueche mit Zaehler A, Bx, Cx^2, etc
bs hin zur entsprechenden Vielfachheit angesetzt werden.

Beispiel: Es gelte, eine Stammfunktion zu 1/((x-1)^2*(x^2+2x+3)
(Nullstellen des Nenners 1 (doppelt), i-1,-i-1

Ansatz. 
1/((x-1)^2*(x^2+2x+3)) = A/(x-1) + B/(x-1)^2 + (Cx+D)/(x^2+2x+3)

1 = A(x-1)(x^2+2x+3) + B(x^2+2x+3) + (Cx+D)(x-1)^2

1 = A(x^3+x^2+x-3) + B(x^2+2x+3) + C(x^3-2x^2+x) + D(x^2-2x+1)

Koeffizientenvergleich: 
A+C=0           /* x^3 */
A+B-2C+D=0      /* x^2 */
A+2B+C-2D=0     /* x   */
-3A+3B+D=1      /* 1   */

Einsetzungs und Additionsverfahren: 
A=-1/9, B=1/6, C=1/9, D=1/6

Die Partialbruchzerlegung: 
1/((x-1)^2*(x^2+2x+3))=-1/(9(x-1)) + 1/(6(x-1)^2) + (2x+3)/(18(x^2+2x+3))

Also:
int(1/((x-1)^2*(x^2+2x+3)) dx) =
 -1/9*ln|x-1| - 1/(6(x-1)) + 1/18*ln|x^2+2x+3| +
  sqrt(2)/36*arctan((x+1)/sqrt(2))



Nebenrechnung: 

int(1/(x^2+2x+3) dx) = int(1/((x+1)^2+2) dx)  /* quadr. Ergaenzung */
= int(1/(y^2+2) dy)  /* y=x+1 */
= int((1/2)/((y/sqrt(2))^2+1) dy)  /* y=x+1 */
= int((1/2)/((y/sqrt(2))^2+1) dy)  /* z=y/sqrt(2) */
= sqrt(2)/2 int(1/(z^2+1) dz)
= 1/sqrt(2) arctan(z) = 1/sqrt(2) arctan((x+1)/sqrt(2))

int(x/(x^2+2x+3) dx) 
= int(1/2 * (2x+2)/(x^2+2x+3) - 1/(x^2+2x+3)  dx) =
= 1/2*int(1/u du) - 1/sqrt(2) arctan((x+1)/sqrt(2))  /* u = x^2+2x+3 */
= 1/2*ln|x^2+2x+3| - 1/sqrt(2) arctan((x+1)/sqrt(2))


Bemerkung: Im Tafelvortrag wurde empfohlen fuer mehrfache Nullstellen
einen einzigen Partialbruch dafuer mit nichtkonstantem Zaehler
anzusetzen. Im Beispiel waere das dann (Ux+V)/(x-1)^2. Eine Stammfunktion fuer diesen erhaelt man dann so: 

int (Ux+V)/(x-1)^2 dx = int (Uy-U+V)/y^2 dy = U ln|x-1| - (V-U)/(x+1)

Besser ist aber die im Beispiel verwendete Methode, bei der fuer eine
k-fache Nullstelle bei a insgesamt k Partialbruecke der Form
A_i/(x-a)^i fuer i=1..k angesetzt werden.

Weitere Beispiele

int 1/(1-x^4) dx. Nullstellen des Nenners: 1,-1,i,-i,
also 1-x^4=(x-1)(x+1)(x^2+1)

int 1/(1+x^4) dx. Nullstellen des Nenners: a+ai, a-ai, -a+ai,-a-ai mit
a=1/2*sqrt(2). Also 1+x^4=(x^2+ax+1)(x^2-ax+1).

Das letztere Beispiel ist erstaunlich kompliziert und soll Leibniz
Schwierigkeiten bereitet haben.








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